Прямые m и n не лежат в одной плоскости. прямые а и б пересекают каждую из прямых m и n. докажите что прямые а и б не пересекаются.

обозначаем точку именами 2 линий, которые в этой точке пересекаются. предположим что существует точка (ab) тогда можно провести плоскость ab через прямые а и b, и точки (ab), (an), (bn), (am), (bm) все принадлежали бы этой плоскости, потому что они лежат на прямых а или b. но это означает, что 2 точки прямой m - (ma) и (mb) лежат в этой плоскости. и 2 точки  прямой n - (na) и (nb), тоже в ней лежат. а значит, и прямые m и n целиком лежат в плоскости аb. что противоречит условию. всё.

Продолжим стороны ав и сd до их пересечения в точке d. угол аес=90, т.к. сумма углов еаd и eda равна 90. рассмотрим треугольники аеd и вес, они подобны по двум углам (∠есв=∠еda как соответственные, ∠aed=∠bec=90). => be/ae=bc/ad => be/(13+be)=12/36 => be/(13+be)=1/3 => 3be=13+be => 2be=13 => be=6,5 пусть окружность касается прямой cd в точке f, причём точка f может лежать или на стороне или на её продолжении. отрезок of перпендикулярен прямой cd как радиус проведённый в точку касания, oa, ob и of — радиусы. треугольник aob — равнобедренный, oh — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. четырехугольник ohef — прямоугольник, потому что все его углы прямые. откуда: r=of=he=hb+be=6,5+6,5=13

проведем сечение пирамиды через высоту и cередину стороны основания. получим сечение шара в виде круга, который касается основания в его центре н и касается апофемы в точке к. он и ок - радиусы шара, равны r. ом - биссектриса угла α.

r/tgα/2 =hm. это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, значит сторона основания   а = нм*√3 = r√3/tgα/2.

площадь треугольника равна а²√3/4 = 3√3r²/4tg²α/2.

высоту пирамиды находим из треугольника нмs,

hs=hm*tgα = rtgα / tgα/2.

  теперь объем v= 1/3 *   3√3r²/ 4tg²α/2 * rtgα/tgα/2 = r³√3 tgα/4tg³α/2.