- Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вер-шины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из ко-торых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, есликатеты треугольника относятся как с объяснением.

Известно, что  диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Нарисуем прямоугольник АВСД, проведем в нем диагонали.
Точку пересечения диагоналей обозначим О.
Проведем ОЕ перпендикулярно ВД.
Соединим В и Е.
В треугольнике ВЕД ВО=ОД по построению. ОЕ в нем медиана и высота. 
треугольник ВЕД - равнобедренный 
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ ВЕ=2АЕ
 ( из равенства ВЕ=ЕД)
синус угла АВЕ=а:2а=0,5, отсюда следует что угол равен 30°
Второй угол, на который диагональ ВД поделила угол АВС, равен угол СВЕ= 90°- 30°= 60°
Остальные углы прямоугольника делятся диагоналями также на углы 30° и 60°. 

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Треугольники, прилегающие к основаниям трапеции,  подобны по первому признаку подобия: "Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны", т.к  <CAD=<ACB, а <BDA=<DBC как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущих АС и ВD соответственно.
Итак, треугольники АОD и СОВ подобны с коэффициентом подобия
ВС/АD=5/7. Тогда АО/ОС=DO/OB=5/7.
ответ: диагональ трапеции разбивается другой диагональю на отрезки в отношении 5:7.