В шара, объем которой равен 256п / 3 см ^ 3, проведено сечение. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности данного сечения, образует с плоскостью сечения угол 60. Найдите объем пирамиды.​

Треугольники AOD и COB подобны. 
Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции.
Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E.
Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD).
Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; 
То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD;
Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы).
Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон.  
То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что
AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S;
Отсюда  √S = √25 + √16 = 9; S = 81;

Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции.
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия
25:16=k²
k=√(25:16)=5:4
Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4
Обозначим
высоту ᐃ ВОС=h₁
высоту ᐃ АОD=h₂
S АОD=h₂·АD:2
S ВОС=h₁·ВС:2

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:

Высота трапеции Н
S ABCD=Н·(АD+ВС):2
Н=h₂+h₁
S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2=
=h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС

1)
Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних.
h₂:h₁=5:4
4h₂=5h₁
h₂=5h₁/4
S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2
25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения
12,5=5h₁/4·АD
5h₁/4 =12,5:AD
h₁:4=2,5:AD
h₁·AD= 4·2,5 =10 см²
Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны равны, то h₂·ВС=10 см²
Проверим это:
2)
h₂:h₁=5:4
5h₁=4h₂
h₁=4h₂/5
S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2
16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения
8=4h₂/5·ВС
4h₂:5=8:ВС
4h₂·ВС=8·5=40
h₂·ВС=40:4=10 см²

3) Подставим значения h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции

S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС =
S ABCD=10+25+16+10= 61 см