решить. Треугольник acb. Угол C=90 градусам. Ac =4, Ab=5. Найти SinB, Cogb, TgB

512√3 см²

Объяснение:

Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.

1 вариант решения

Рассмотрим ΔАВД.

Он - равносторонний.

Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.

∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.

Тогда ВД=АВ=АД.

Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².

2 вариант решения.

Рассмотрим ΔАВО.

Он - прямоугольный с

гипотенузой АВ, равной стороне ромба,

∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом

и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.

Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.

ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см  или

ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².

Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.

1) Проведем МН параллельно АD  и обозначим ее пересечение с ВК точкой Т. 

МН=АD; ВН=АН

АК=АD/2 

 НТ||АD ⇒ НТ – средняя линия ∆ АВК и равна половине АК, значит, НТ=АD/4⇒

ТМ=AD-AD/4=3АD/4

2) ∠РАК=∠РМТ - накрестлежащие. 

Углы при пересечении ВК и АМ  равны как вертикальные. 

∆ АРК~∆ ТРМ по равным углам.

АК:ТМ=АD/2 : 3АD/4=3/2

Проведем  КЕ параллельно АВ. 

ВЕ=АК, АВ=КЕ⇒

АВЕК - параллелограмм, его площадь равна половине площади АВСD. 

Примем площадь АВСD=Sр (т.е. S parall) Площадь АВЕК=Sр/2

3) Диагональ ВК делит АВЕК пополам. 

Площадь ∆ АВК равна половине площади АВЕК=Sр/4

В ∆ АВК   ВТ=ТК

Примем коэффициент  отношения ТР/РК равным а. Тогда отрезок  ТК=3a+2a=5а 

ВТ=ТК=5а, ВК=ВТ+ТК=10а. 

Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. 

S(АРК):SABK=2/10=1/5

S(АРК)= Sp/4•1/5=1/20 ⇒

Площадь  ∆ АРК относится к площади параллелограмма как 1/20.