На сторонах ОХ та OY кута XOY відкладені рівні ві-дрізки OM і ON відповідно. Довести, що відстанівід будь-якої точки А бісектриси цього кута до то-чок MiN рівні.​

Пусть первая сторона равна x см, тогда вторая равна (x+6) см.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Заметим, что отрезок, образованный биссектрисой и равный 5 см будет находится рядом со большей стороной (т.к 5 см > 3 см). т.е будет прилежать к стороне равной (x+6) см

Исходя из теоремы, приведенной во втором абзаце составим пропорцию:

Решим данное уравнение

Подставим найденное значение x для нахождения сторон треугольника:

Первая сторона: x см = 9 см

Вторая сторона: (x+6) см = (9+6) см = 15 см

Третья сторона состоит из отрезков, на которые она была разбита биссектрисой: 3 см + 5 см = 8 см

ответ: 9 см; 15 см; 8 см

Существуют два варианта пересекающихся биссектрис в прямоугольном треугольнике.

1. биссектрисы исходящие из прямого угла и одного из острых.

Величины углов, образованного треугольника 45°, 40° (предполагаемый угол между биссектрисами) и Х°. Найдем Х из условия суммы углов треугольника: Х=180-(40+45)=95°. Но Х это половина острого угла прямоугольного треугольника ⇒ биссектрисы исходящие из прямого угла и одного из острых не могут пересекаться под углом 40°.

2. биссектрисы исходящие из острых углов прямоугольного треугольника.

Обозначим острые углы Х и У, тогда сумма углов получившегося треугольника:

Х/2 + У/2 + 40=180

Х+У=280° , но сумма острых углов равна 90° ⇒

биссектрисы исходящие из острых углов прямоугольного треугольника не могут пересекаться под углом 40°.