Точка K – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции ABCD. Известно, что C – середина KD. Найдите разность оснований трапеции, если BC равна 8, 5 см.

1) Давай с чертежом разберёмся. Трапеция  АВСD. Основания АD (нижнее)
и ВС( верхнее), Угол А = 60, угол В = 120, Точка О - центр окружности. Из точки О проведём перпендикуляр к ВС ( радиус) Появилась точка К. ΔВОК прямоугольный с углом 60 и 30 ( весь угол В = 120)
2) Из В опустим высоту ВМ. 
ΔАВМ прямоугольный с гипотенузой = а и углом 30
АМ = а/2 по т Пифагора ВМ = а√3/2  ( это высота трапеции)
3) ΔВКО
КО = а√3/4  (половина ВМ) ВК =х ВО = 2х
Составим по т. Пифагора 3х² = 3а²/16⇒ х² = а²/16⇒х = а/4
4) ВC = а/2,  АD=3а/2
5) Площадь трапеции = произведению полусуммы оснований на высоту.
S =(а/2 + 3а/2)·а√3/2 :2 = 2а ·а√3/2 :2 = а²√3/2

Построим  треугольник , площадь которого равна площади трапеции. Пусть АВСД ---трапеция, АД II  ВС. Из точки С проводим прямую , параллельно диагонали ВД(вниз) до пересечения с продолжением АД  Пусть это точка М.
ДВСМпараллелограмм.
ΔАСМ имеет ту же высоту , что и  трапеция, это расстояние от точки С до стороны АД . Обозначим эту высоту СК, а АМ=АД+ВС(ВС=ДМ). Очевидно, что площадь   Δ АСМ = площади АВСД
S=CK·(AD+BC)\2
Стороны ΔАСМ  - это АС=20 , СМ=ВД=21,  АМ=АД+ВС=2·14,5=29. Треугольник АСД подобен Египетскому , то есть , прямоугольный , и его площадь равна
S=(20·21)/2=210 (кв . ед )
ответ : 210