Варіант 1 І рівень Виберіть правильну відповідь. 1. Враховуючи, що косинус гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи, і користуючись рисунком, виберіть значення для косинуса кута А: а) ; б) ; в) ; г) . 2. Враховуючи, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, і користуючись рисунком, виберіть значення для синуса кута В: а) ; б) ; в) ; г) . 3. Враховуючи, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, і користуючись рисунком, виберіть значення для тангенса кута С: а) ; б) ; в) ; г) . Рисунки к заданиям прекреплены по порядку.

Из ΔAMB  по теореме косинусов :
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB     (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому 
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB   (2)  ;
 суммируем  (1) и  (2) получаем 
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но  BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA  поэтому :
4AM²  =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA. 

* * * 
Можно продолжать медиана  MD =AM   и  M соединить с вершинами 
B и C. Получится параллелограмм  ABDC , где верно
 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².

Для медианы CN :  4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то  4CN² =4AM²   или  CN =AM .

Через точки М и О(О-центр окружности) проведем прямую, чтоб она пересекала окружность в двух местах, пункты пересечения обозначим К и Т 
КТ - диаметр окружности(КТ проходит через пункт О, - центр окружности)
ОМ = 5 (по условию)
Обозначим КМ через х,
ОТ = ОК = МО +МК = 5+х

При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды
значит КМ* МТ = АМ * АВ
 х*(х+5+5) = 6*9
х^2+10x=54
имеем квадратное уравнение:
x^2 +10x- 54=0
D = 10^2 + 216 = 316;  √D=2√79
x1 = -b + √D /2a = -10 +2√79/2 = -5+√79
x2 = -b -√D/2a = (тут можно не считать получится отрицательное число, а длинна не может быть отрицательной)
КМ =х= -5 +√79
КО = 5 + (-5) +√79=√79 (это и есть радиус)