Решить все во Геометрия 9 класс

1. а) Точка  С(x; y) симметрично точке A(-3 ; 2) относительно

точки B(3 ; 1) .           С(x ; y) _?

решение : Если  векторы BC  и   AB  равны

BC =(x -3 ; y -1 )

AB= ( 6 ; -1 )                                 * * * 3 -  (-3) ; 1 -2 * * *

BC = AB ⇔  {x -3 =6 ; y -1 = -1 . ⇔ x=3 ; y =0 .  

С(3 ; 0)

1. б) Точка D(x ; y)   симметрично точке A(-3 ; 2)  относительно  прямой   y = - 1 ( ось симметрии ) .

решение :  y = -1  x = -3 ;  ( 2 + y ) /2 = -1  ⇔2 + y = -2 ⇔ y = - 4 .  

D( - 3 ; - 4).

* * *  

2.   x = 3 ( ось симметрии )

решение :  ( x + (-1) ) / 2 = 3  ⇔  x =7 .  

* * *

3 . Пусть a длина квадрата (правильного четырехугольника)

2r - диаметр вписанной окружности (сторона квадрата)

2R -диаметр описанной окружности (диагональ квадрата)

S₁/S₂ = πr²/πR² = (2r)²/(2R² ) = a² / 2a² =1/2 .

* * *

4.  решение:

* * * (x - x₀)² +(y - y₀)² = R² → уравнение окружности  с центром   в точке  (x₀ ; y₀)  и радиусом R . * * *

(x - 5)² +(y - 3)² = 4  ⇒ (x₀ ; y₀)≡ (5 ; 3) , R =2

(x - x₀₁)² +(y - y₀₁)² = 4

0 = (5+x₀₁)/2 ⇒ x₀₁ = - 5 и y₀₁ =y₀=3, т.к. прямая проходящая через центры окружностей параллельно оси абсцисс (Ox)

R₁ = 2.  Следовательно, ответ : (x + 5)² +(y - 3)² = 4

251.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого. У нашому випадку відповідні сторони і кути рівні, звідси і випливає рівність трикутників.

253. Трикутник є рівнобеднериним(ВДС); Дк спільний катет для трикутника БДК і КДС, також пряма дк є бісиктрисою кута Д і медіаною для ВС. Тобто основи трикутників рівні; кути при основі теж рівні і за рахунок бісектриси кути у вершини теж рівні, звідси і трикутники рівні :)

1. Если треугольники подобны, то отношения сторон у них равны.

Пусть х - коэффициент пропорциональности.

Тогда стороны треугольника 2x, 5x, 4x.

Меньшая сторона 2х = 22, тогда

х = 11 см

Большая сторона равна 5х:

11 · 5 = 55 см

2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Если сходственные стороны относятся как 3 : 5, то

Sabc : Smnp = 9 : 25

Учитывая, что Smnp = Sabc + 16, получаем уравнение:

Sabc : (Sabc + 16) = 9 : 25

25·Sabc = 9·Sabc + 144

16·Sabc = 144

Sabc = 9 см²

3. Пусть х - сторона квадрата.

Из треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и диагональю по теореме Пифагора:

x² + x² = 16²

2x² = 256

x² = 128

x = 8√2 см

Р = 8√2 · 4 = 32√2 см

4. Из прямоугольного треугольника ACD по теореме Пифагора найдем АС:

АС = √(AD² - CD²) = √(225 - 64) = √161

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведенную к ней высоту:

Sabcd = CD · AC = 8 · √161 = 8√161 см²

5. ΔАВН: ∠Н = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°. Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, АН = АВ/2 = 4 см.

По теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см

АН : HD = 2 : 3, ⇒ HD = 6 см.

HBCD - прямоугольник, ⇒ ВС = HD = 6 см.

Sabcd = (AD + BC)/2 · BH = (10 + 6)/2 · 4√3 = 32√3 см

6. ΔACD прямоугольный, DE его высота. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:

DE² = AE · EC = 8 · 4 = 32

DE = √32 = 4√2 см

ΔAED: по теореме Пифагора

             AD = √(AE² + ED²) = √(64 + 32) = √96 = 4√6 см

ВС = AD = 4√6 см

ΔCDE: по теореме Пифагора

            CD = √(EC² + ED²) = √(16 + 32) = √48 = 4√3 см

АВ = CD = 4√3 см

а) АВ : ВС = 4√3 / (4√6) = 1/√2 = √2/2

б) Pabcd = (AB + BC)·2 = (4√3+ 4√6)·2 = 8·(√3 + √6) см

в) Sabcd = AB·BC = 4√3 · 4√6 = 16√18 = 48√2 см

7. Так как треугольники подобны,

BC : BD = BD : AD

BD² = BC · AD = 8 · 12,5 = 100

BD = 10 см

8. Треугольник АВС равнобедренный, медиана ВН является и высотой.

Из ΔАВН по теореме Пифагора:

ВН = √(АВ² - АН²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины:

ВО : ОН = 2 : 1, ⇒ ОН = ВН/3 = 8 см

Из треугольника АОН по теореме Пифагора:

АО = √(ОН² + АО²) = √(64 + 49) = √113 см

АО = 2/3 АМ

АМ = √113 · 3/2 = 3√113/2 см

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам равны, значит

СК = АМ = 3√113/2 см