Дано: AFCD - прямоугольник АС- диагональ AD=2(корень)21 СD:AC=2:5 Найти CD и AC Тут и соотношения и Пифагор.

Пусть CD = 2x, тогда AC = 5x.

Используя т. Пифагора, найдем переменную х:

Подставим значения:

CD = 2x = 2·2 = 4 см

AC = 5х = 5·2 = 10 см

ответ: CD — 4 см, AC — 10 см.

Отрезок EF отнюдь не является средней линией треугольника! Есть теорема: каждая медиана треугольника делится точкой их пересечения на 2 части, длины которых относятся как 2:1. То есть отрезок ВО в 2 раза больше отрезка ОD. 
Рассмотрим два треугольника: основной АВС и верхний EBF. 
Ясно, что они подобны. Всем известно, что в подобных треугольниках отношение длин сторон одного тр-ка к сторонам другого тр-ка - постоянная величина.. Но это же относится и к другим отрезкам, не только к сторонам. В частности, к медианам. Легко увидеть, чему равно отношение медиан ВО/ВD = 2/3. Значит, и отношение оснований такое же:
EF / 15 = 2/3 
Отсюда EF = 10 см.

Дано: AB=BC=CD=AD (ABCD _ромб) , ∠A =30° ; 
∠SEO =∠SFO=∠SMO=∠SNO = α =60°,SO=3√3.
E∈[AB] , F∈[BC] , M ∈[AB] ,N  ∈[CD] .

V -?

V =(1/3)*Sосн *H =(1/3)*Sосн *3√3 = √3*Sосн.
Пусть основания высоты пирамиды точка O: 
* * *  SO⊥ (ABCD), O ∈ (ABCD). * * *
Если все двугранные углы при ребрах основания составляют равные 
углы (как в данном примере α=60°) ,то высота пирамиды проходит через центр  окружности вписанной в основании  (здесь ромб ).  

[[ Прямоугольные  треугольники SEO , SFO,SMO и SNO равны  по общим катетом SO и острым углам ∠SEO =∠SFO=∠SMO=∠SNO.
⇒EO =FO=MO=NO =r  и SE ,SF, SM, SN равные  апофемы .]]
EF⊥ AD ; MN ⊥BC
* * *
Рассмотрим ΔESF: треугольник равносторонний ∠SEO =∠SFO=60°.
SO =(a*√3)/2= (EF*√3)/2.
3√3 =(EF*√3)/2⇒ EF = 6 . Проведем BH ⊥AD.Ясно BH =EF =6.

Из ΔABH:  BH =AB/2   (катет против угла ∠A =30°) ⇒AB=2BH.
Sосн =AD*BH =AB*BH =2BH*BH =2BH² =2*6² =72.
* * * или Sосн =AB*AD*sin∠A =AB²*sin∠A * * *

V =√3*Sосн =72√3.