Плоскость α пересекает стороны АК и ВК треугольника АВК соответственно в точках С и D. Известно, что АВ//α, АВ равно 7, АС равно 6, СК равно 8. Найдите СD.

А) Пусть SO высота пирамиды, а KH — перпендикуляр, проведенный из K к плоскости ABC. Очевидно, что основание перпендикуляра H — проекция точки K, лежит на BO — проекции BS. Докажем, что M, H и С лежат на одной прямой. Пусть MC пересекает BO в точке T, и пусть N — середина AB. Запишем теорему Менелая для треугольника BNO и прямой CM: дробь, числитель — BM, знаменатель — MN умножить на дробь, числитель — NC, знаменатель — CO умножить на дробь, числитель — OT, знаменатель — TB = 1, тогда дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — OT, знаменатель — TB = 1. Из последнего соотношения получаем: OT : TB = 7 : 3. Но OH : HB = SK : KB = 7 : 3. Значит, точки H и T совпадают. Следовательно, CM пересекает BO в точке H. Плоскость KMC содержит KH, которая перпендикулярна ABC, таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны. Поэтому плоскость α проходит через точку C.
б) Заметим, что
KH= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 SO= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 корень из { SA в степени 2 минус AO в степени 2 }= дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 .

Вычислим CM при теоремы косинусов:
CM в степени 2 =9 в степени 2 плюс 1 в степени 2 минус 2 умножить на 9 умножить на 1 умножить на косинус 60 в степени circ = 73.
Поэтому площадь треугольника CKM равна
S= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 умножить на корень из { 73}= дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .
ответ: б) дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .

в прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, угол A = 60°, так? если да, то

по свойству углов треугольника,

угол B = 180° – 90° – 60° = 30°

катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Это и есть меньший катет. Получается

AC = AB / 2, AB = 2 * AC [1]

по условию задания, AB + AC = 36.9 см [2]

подставим [1] в [2], получим

2 * AC + AC = 36.9

3 * AC = 36.9

AC = 36.9 / 3 = 12.3 см

подставим полученное значение в [1], получим

AB = 2 * AC = 2 * 12.3 = 24.6 см

Итого, гипотенуза равна 24.6 см, меньший катет равен 12.3 см