Варіант 1 1. (1 б.) Знайдіть косинус кута А трикутника АВС з прямим кутом С, якщо АС = 6, 3 см, АВ = 14 см. 2. (1 б.) Знайдіть значення тангенса кута А прямокутного трикутника АВС (  С = 90° ), якщо ctg B = 0, 9. 3. (1 б.) Знайдіть катет ВС прямокутного трикутника АВС, якщо його гіпотенуза АВ = 15 см, а  А = 60°. 4. (2 б.) Побудуйте кут  , якщо його косинус дорівнює 5 4 . 5. (3 б.) У рівнобедреному прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 6 см. Знайдіть гострі кути і периметр цього трикутника. 6. (4 б.) Продовження бічних сторін трапеції ABCD (BC׀׀ AD) перетинаються під прямим кутом. Знайдіть AB, якщо  BAD =30°, BC = 10 см, AD = 16 см.

Из трёх задач только №617 имеет решение.

В задаче №618 угол между высотой и биссектрисой составляет 90 градусов, то есть невозможно построить третью точку.

В задаче №619 взаимное расположение заданной точки В, высоты и биссектрисы из разных вершин не даёт решения.

№617) Дана вершина А(2; -4) и уравнения биссектрис двух его углов     х + у - 2 = 0 и х - 3у - 6 =0.

Находим точку пересечения биссектрис, решая систему:

{х + у - 2 = 0.

{х - 3у - 6 = 0. Вычитаем:

    4у + 4 = 0,  у = -4/4 = -1,  х = 2 - у = 2 - (-1) = 3. Точка О(3; -1).

Через эту точку и вершину А(2; -4) проводим ещё одну биссектрису.

Вектор АО = (1; 3). Уравнение АО: (х - 2)/1 = (у + 4)/3 или в общем виде

3х - у - 10 = 0. Угловой коэффициент равен к(АО) = 3.

Из уравнений биссектрис находим их угловые коэффициенты:

к(ОД) = -1, к(ОС) = 1/3.

Находим тангенсы углов АОД и ДОС по их угловым коэффициентам.

к(АОД) = (3 - (-1))/(1 + 3*(-1)) = 4/-2 = -2.

к(ДОС) = (-1 - (1/3))/(1 + (-1)*(1/3)) = -4/2 = -2.

Как видим они равны, значит, биссектриса ОД является и высотой, а сторона АС перпендикулярна биссектрисе ОД.

Уравнение стороны АС определяем из уравнения ОД по свойству - коэффициенты при х и у меняются, один из них с другим знаком.

АС: -х + у + С = 0.Для определения слагаемого С подставим координаты точки А. -2 - 4 + С = 0. Отсюда С = 6.

Находим уравнение первой стороны:

АС: -х + у + 6 = 0 или х - у - 6 = 0.

Далее, используя значение угла между стороной и биссектрисой, находим угловые коэффициенты двух других сторон.

к(ОАС) = (3-1)/(1 + 3*1) =  2/4 = 1/2.

к(АВ) = (3 + (1/2))/91 + (1/3)*(1/2)) = -7.

Уравнение АВ: у = -7х + С. Подставляем координаты точки А.

-4 = -7*2 + С, отсюда С = -4 + 14 = 10.

Уравнение АВ: у = -7х + 10 или 7х + у - 10 = 0.

Координаты точки С находим, решая систему уравнений биссектрисы ОС и найденной стороны АС. с(

4 0).Аналогично находим уравнение ВС: к(ВС) = -1/7.

ВС: у = у = (-1/7)х + С. Точку С: 0 = (-1/7)*6 + С, отсюда С = (6/7)

Уравнение ВС: у = (-1/7)х + (6/7) или х - 7у - 6 = 0.

а) 2√3   б) 6.    

Объяснение:

Условие задачи.

Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа

Решение.

1) Так как  ΔАВС - правильный, то АВ = ВС = АС = 8.

2) В правильном треугольнике АВС его медиана СК является высотой, соответственно и в проекции АВС₁  треугольника АВС на плоскость α проекция С₁K медианы СК является и медианой, и высотой равнобедренного ΔАВС₁ со сторонами: АВ = 8, ВС₁ = АС₁ = 2√7.

3) В прямоугольном ΔАКС₁ сторона АС₁ является гипотенузой, а стороны АК и КС₁ являются катетами, при этом АК = АВ/2 = 8/2 = 4.

По теореме Пифагора находим длину проекции медианы:

С₁K = √ ((АС₁)²-(АК)²) = √ ((2√7)²-(4)²) = √ (4*7 - 16) = √12 = 2√3

Таким образом, длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость α = 2√3

4) В прямоугольном ΔАСС₁, образованном стороной АС треугольника АВС, её проекцией АС₁ на плоскость α, а также перпендикуляром СС₁, опущенным из точки С на плоскость α и являющимся кратчайшим расстоянием от точки С до плоскости α, сторона АС является гипотенузой треугольника АСС₁, а стороны АС₁ и СС₁ - его катетами. ПО теореме Пифагора находим СС₁:

СС₁ = √ ((АС)²-(АС₁)²) = √ ((8)²-(2√7)²) = √ (64 - 4*7) = √36 = 6.

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.

ответ: а) длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость альфа равна 2√3; б) расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.