Диагонали равносторонней трапеции перпендикулярны, а средняя линия равна 10 см. Найдите площадь четырехугольника (см2), вершинами которого являются середины сторон трапеции.

50 см2.

Объяснение: Извини , без рисунка.

Можно заметить, что высота трапеции равна средней линии, т.е. 10.

Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию, т.е. равна 100.

Площадь искомой фигуры равна половине площади трапеции, стало быть, равна 50  см2.

Теперь по пунктам: 1)Пусть АВСД трапеция. О - точка пересечения лиагоналей.  М-середина меньшей диагонали , К - большей. Треугольники АОД и ВОС -прямоугольные равнобедренные. Их высоты равны половинам оснований. Сумма этих высот -высота трапеции. Значит высота равна средней линии.

2) Пусть средняя линия РЕ. Рассмотрим треугольник МЕД.  Площадь этого треугольник равна четверти площади ВСД (т.к. МЕ его средняя линия). Также и площадь РАК четверть площади АВД. Их сумма четверть площади трапеции. Также и сумма площадей ВРМ и КЕД.

Сумма площадей всех перечисленных треугольников = половина площади трапеции. Но площадь искомой фигуры - это площадь трапеции без площадей этих четырех треугольников.

Диагональ делит выпуклый четырехугольник на два треугольника с общим основанием. Средние линии этих треугольников параллельны и равны половине общего основания. Следовательно середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма (Вариньона).

Стороны параллелограмма Вариньона равны половинам диагоналей четырехугольника. Угол параллелограмма Вариньона равен углу между диагоналями четырехугольника.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. Искомая фигура - параллелограмм с прямым углом и равными сторонами - квадрат. Диагональ этого квадрата - средняя линия трапеции, 10 см.

Площадь квадрата = 1/2 d^2 =100/2 =50 (см^2)

Для этого надо составить уравнения сторон в виде у = кх + в.
У параллельных прямых коэффициенты "к" равны.
Сторона АВ:
Уравнение прямой:
Будем искать уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-6)) / (4 - (2)) = 4;
b = yB - k · xB = 2 - (4) · (4) = yA - k · xA = -6 - (4) · (2) = -14 .
Искомое уравнение: y = 4 · x  - 14 .

Сторона ВС:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (5 - (2)) / (-2 - (4)) = -0.5;
b = yB - k · xB = 5 - (-0.5) · (-2) = yA - k · xA = 2 - (-0.5) · (4) = 4 .
Искомое уравнение: y = -0.5 · x + 4 .

Сторона СД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (5)) / (-3 - (-2)) = 4;
b = yB - k · xB = 1 - (4) · (-3) = yA - k · xA = 5 - (4) · (-2) = 13 .
Искомое уравнение: y = 4 · x + 13 .

Сторона АД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (-6)) / (-3 - (2)) = -1.4;
b = yB - k · xB = 1 - (-1.4) · (-3) = yA - k · xA = -6 - (-1.4) · (2) = -3.2 .
Искомое уравнение: y = -1.4 · x  - 3.2 .

Уравнения сторон АВ и СД имеют одинаковые коэффициенты "к", поэтому заданный четырёхугольник - трапеция.

1) возьмем точку С на одной из сторон угла и проведем через нее перпендикуляр к этой стороне
( построение перпендикуляра при циркуля и линейки подробно описано в школьном учебнике геометрии: Через концы отрезка проведите две окружности с одинаковыми радиусами. Не обязательно строить всю окружность, достаточно получить только точки пересечения. Через точки пересечения окружностей проведите прямую. Вы получили серединный перпендикуляр к заданному отрезку.)

2)АВС- прямоугольный треугольник, значит угол В равен 90-54=36 градусов
3) поделим угол В пополам ( деление угла пополам при циркуля и линейки подробно описано в школьном учебнике геометрии: Из вершины угла провести произвольным радиусом дугу до пересечения со сторонами угла АВС в точках n и k. Из полученных точек проводят две дуги радиусом R, несколько большим половины длины дуги nk, до взаимного пересечения в точке m. Вершину угла соединяют с точкой m прямой, которая делит угол АВС пополам. Эта прямая называется биссектрисой угла АВС .)

4) углы АВО и ОВС получились по 18 градусов
5) поочередно строим углы 1,2 и 3 равные 18 градусам ( построение угла, равного данному при циркуля и линейки подробно описано в школьном учебнике геометрии. Проведем прямую  линию и обозначим на ней произвольную точку О. Из вершины А данного угла ВАС, как из центра, произвольным радиусом опишем  дугу так, чтобы она пересекла обе стороны данного угла. Обозначим точки пересечения буквами К и М. Потом тем же радиусом из точки О, как из центра, проведём дугу так, чтобы она пересекла взятую нами прямую. Обозначим точку пересечения буквой N. После этого возьмём циркулем расстояние КМ и из точки N, как из центра, опишем дугу радиусом, равным расстоянию КМ, так, чтобы она пересекла дугу, описанную из точки О, в какой-нибудь точке Р. Проведя прямую ОР, получим угол PON, равный углу ВАС.)