АВ - гіпотенуза прямокутного трикутника АВС, АС = 10 см, ∠В = 400. Обчисліть довжину гіпотенузи з точністю до десятих сантиметра. вариатны: 15, 6 15, 5 13, 04 13, 05

только 11

Объяснение:

Пусть D-точка касания вневписанной окружности со стороной BC, E-вписанной окружности со стороной BC, F-вписанной окружности со стороной AC, G-вневписанной окружности со стороной AC, H-вневписанной окружности, касающейся BC,  с прямой AB, I-вневписанной окружности, касающейся BC,  с прямой AC, J-вписанной окружности со стороной AB, O-центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.

По условию BC=10, DE=2, FG=3. Пусть EC=x. Тогда BD=8-x, CF=x (EC=CF как отрезки касательных). Пусть AG=y. Выпишем равные отрезки касательных:

EC=CF=x

CD=CI=x+2

AF=AJ=y+3

BH=BD=8-x

BJ=BE=10-x

Заметим, что четырехугольник AHOI вписанный, так как ∠AHO=∠OIA=90° (радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной). При этом HO=OI и ∠HAO=∠IAO. Значит, AH=AI.

AH=AI

AJ+JB+BH=AF+FC+CI

(3+y)+(10-x)+(8-x)=(3+y)+x+(x+2)

Отсюда x=4. Осталось найти y. Сделаем это через подобие.

Пусть P-центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.

P, C, O лежат на одной прямой, так как CO-биссектриса BCI, CP-биссектриса угла, вертикального углу BCI.

Значит, треугольники ODC и PGC подобны. Пусть r- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC, R- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC, i-радиус вписанной окружности. Тогда из подобия

DC/CG=OD/PG

(x+2)/(x+3)=r/R

Так как x=4, r/R=6/7.

Пусть Q-центр вписанной окружности.

Теперь заметим, что следующие пары треугольников подобны: BOD, QBE и APG, OAF. Докажем, что BOD, QBE подобны, доказательство для второй пары треугольников аналогично. Эти треугольники прямоугольны, а ∠BOD=∠QBE, потому что ∠QBE=1/2∠ABC, так как Q-центр вписанной окружности, и ∠BOD=1/2∠ABC, так как HBDO-вписан (∠BHO=∠ODB=90°), ∠HOD=180°-∠HBD=∠ABC, а OB-биссектриса HOD, потому что HB=BD как отрезки касательных.

Из подобия BOD, QBE

BD/OD=QE/BE

(8-x)/r=i/(10-x)

ri=(8-x)(10-x)=4*6=24

Из подобия APG, OAF

AG/PG=OF/AF

y/R=i/(3+y)

iR=y(3+y)

Получили два равенства. Разделим одно на другое.

r/R=24/(y(y+3))

До этого мы вывели, что r/R=6/7.

6/7=24/(y(y+3))

y(y+3)=28

y^2+3y-28=0

y=4 либо y=-7. Длина отрезка неотрицательна, поэтому y=4.

Значит, AC=CF+FG+GA=x+3+y=4+3+4=11.

Объяснение:

№1

-5х²+8х+4=0

а= -5;в=8;с=4

D = b² - 4ac = 82 - 4·(-5)·4 = 64 + 80 = 144   √144=12

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ =   -8 - √144/ 2·(-5)  =   -8 - 12/ -10  =   -20/ -10  = 2

x₂ =   -8 + √144 /2·(-5)  =   -8 + 12 /-10  =   4/ -10  = -0,4

x₁ = 2;x₂ =  -0,4

№2

(6х+3) (х-18)=0

6х²-108х+3х-54=0

6x² - 105x - 54 = 0

а=6;в= -105;с= -54

D = b² - 4ac = (-105)2 - 4·6·(-54) = 11025 + 1296 = 12321  √12321=111

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ =   105 - √12321 /2·6  =   105 - 111 /12  =   -6/ 12  = -0,5

x₂ =   105 + √12321 /2·6  =   105 + 111 /12  =   216 /12  = 18

x₁ =  -0,5   x₂ = 18