В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, внешний угол при вершине А равен 120°, СН высота, СН = 5, 6 см. Найдите ВС.

Если построить несколько равнобедренных треугольников, то можно заметить, что искомый угол зависит от угла при вершине равнобедренного треугольника... он может быть и тупым и острым)))
если в условии треугольник АВС дан, значит известны его элементы,
т.е. можно попробовать выразить искомый угол через элементы треугольника АВС)))
основание треугольника АВС (я его обозначила b))) даже и не понадобилось...
боковую сторону обозначим (а), угол при вершине --гамма
использовала известный факт:
медиана делит треугольник на два равных по площади
и площади треугольников с равными высотами относятся как их основания)))
медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
и теорема косинусов)))

Так как  BK перпендикулярно AD и AK=KD, то ясно, что AБД равнобедренный треугольник. АБ и БД симметричны. БЦ паралельно АД, но в 2 раза меньше (половина, или равно КД). БО имеет тот же, угол что и БД, так как лежит на нем, и в два раза короче.
Следовательно АБ:АД=БО:БЦ (количественно - в 2 раза больше/меньше)

Найти:  площадь треугольника АБД.
Сперва найдем длину стороны (правильного) пятиуголника. а= = 
Найдем апофему (перпендикуляр к стороне от центра)
h=(S*2)/5*a=60/20,7=2,9
По теореме пифагора найдем расстояние от центра до любой точки. 
АО=r= sqrt(h²*(a/2)²)= 
Зная высоту треугольника АБД (апофема + расстояние до точки/радиус описанной окружности) найдем площадь треугольника.
Sabd= (a*H)/2=4,17*(2,9+3,57)=27cm²

p.s. Задача выполнена с учетом, что точка Д лежит напротив отрезка AB,а не рядом.

удачи:))