Параллельная оси цилиндра плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90°. Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна 240 кв. ед. изм. Определи расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если высота цилиндра равна 20 ед. изм. ответ: расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно ‾‾‾‾‾√ ед. изм.

Объяснение:

1. Сечение ABB1A1 — прямоугольник, так как образующие AA1 и BB1 перпендикулярны основанию, следовательно, SABA1B1=AB⋅AA1.

 

2. Длина образующей AA1 равна длине высоты, значит можно определить длину AB= 24020 = 12 ед.изм.

 

3. Величина дуги равна величине угла AOB.

 

4. Если OC⊥AB, то AC=CB, AC=AB2=6 и∡AOC=∡BOC=∡AOB2=45°.

 

5. Из прямоугольного треугольника OCA рассчитаем:

OC=ACtg∡AOC=6tg45°=61=6ед.изм.

Для восприятия лучше начертить чертёж. 
Имеем две наклонные к прямой а: ВА и ВС, опустим перпендикуляр из точки В на прямую а и обозначим его как D. Получили АD проекция наклонной ВА, а CD - проекция наклонной ВС. Из условия AD=CD+11. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD они прямоугольные и катет BD у них общий, запишем уравнения для его отыскания по теореме Пифагора:
BD²=AB²-AD² - для треугольника ABD
BD²=BC²-CD² - для треугольника CBD
Можно записать равенство
AB²-AD²=BC²-CD²
Вместо AD запишем CD+11
AB²-(CD+11)²=BC²-CD²
Подставляем известные нам значения и решаем уравнение
20²-(CD²+22CD+11²)=13²-CD²
400-CD²-22CD-121-169+CD²=0
-22CD=-110
CD=110:22=5 см - нашли проекцию наклонной ВС
AD=CD+11=5+11=16 см - проекция наклонной ВА

Сторона правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

a(n) = 2R·sin(180°/n)

1. a₃ = 2R · sin(180° / 3) = 2R · sin60° = 2R√3/2 = R√3

R = a₃ / √3 = 9 / √3 = 3√3 см

С = 2πR = 2π · 3√3 = 6π√3 см

2. a₄ = 2R · sin(180°/4) = 2R · sin45° = 2R · √2/2 = R√2

R = a₄ / √2 = 10 / √2 = 5√2 см

S = πR² = 50π см²

3. Центральный угол правильного восьмиугольника:

α = 360° / 8 = 45°

Центральный угол, соответствующий дуге АВС, состоит из двух центральных углов, поэтому ∠АОВ = 45° · 2 = 90°.

Длина дуги: l = 2πR · α / 360°

l = 2π · 6 · 90° / 360° = 3π см

4.   Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу 90°, равна 12 см². Найдите площадь круга.

Такой сектор - это четверть круга. Значит площадь круга в 4 раза больше:

S = 12 · 4 = 48 см²