У прямокутному трикутнику АВС ( С = 90°), АВ = с, ВАС = α, КАС = β. Знайдіть довжину відрізка ВК.

Пусть АО=ОС=r;
Δ CОВ ~ Δ АМВ по двум углам ( ∠В-общий; ∠АМВ=∠ОСВ).
СО:АМ=СВ:МВ;
r: AM=4:6,4⇒  AM=1,6r

Рассмотрим прямоугольную трапецию МСОА. Проведем высоту СЕ.
(см чертеж 2, отдельный)
Из прямоугольного треугольника ОЕА по теореме Пифагора
ОА²=ОЕ²+ЕА²;
r²=2,4²+0,36r²;
0,64r²=5,76
r²=9
r=3.

АМ=1,6r=1,6·3=4,8

Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора
АС²=АМ²+МС²;
АС²=4,8²+2,4²=(2,4·2)²+2,4²=2,4²·(2²+1)=2,4²·5
АС=2,4√5
Δ AMC ~ Δ CMD
AC : BC=MC : CD;
2,4√5 : 4=4,8 : СD  ⇒  CD=8√5/5=1,6√5

AD=AC+CD=2,4√5+1,6√5=4√5.

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности малого радиуса из точки В:
произведение секущей ВА на ее внешнюю часть ВК равно квадрату касательной ВС
ВА· (ВА-AK)=BC²;  AK=2r=2·3=6
ВА· (ВА-6)=4²;
ВА²-6ВА-16=0- квадратное уравнение.
D=36+64=100
BA=(6+10)/2=8
BA=2R
2R=8
R=4

О т в е т. R=4; r=3; AD=4√5

50

Объяснение:

1. Найдем длину диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды. По теореме Пифагора:

дм.

AO = AC/2= 100/2 = 5 дм

2. Для наглядности, начертим сечение по плоскости на которой лежит треугольник AKC

По теореме Фалеса (при пересечении угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки) видно, что параллельные прямые AK и OM делят AC и KC на пропорциональные отрезки, так как AO=OC=AC/2 (точка O середина диагонали), верно равенство КМ=MC=KC/2.

Аналогично прямые КО и MN делят ONC на равные отрезки

ON=NC

По признаку равенства прямоугольных треугольников, ΔONM = ΔCNM

(по двум катетам).

Вычислим KC по теореме Пифагора:

Далее OM=MC=KC/2 =

Площадь равнобедренного треугольника BMD равна половине произведения основания BD на высоту OM

S BDM = BD*OM =