Дана правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 30 см.Определи объём данной пирамиды. ​

Линия пересечения плоскости  AD₁C₁ и плоскости основания есть ребро параллелепипеда АВ.

Угол между плоскостью AD₁C₁ и плоскостью основания есть угол между плоскостью  AD₁C₁ перпендикуляром к АВ, то есть высотой ромба. На рисунке обозначена как ВН.

ΔСВН - прямоугольный, с прямым углом Н, по условию острый угол ромба-основания равен 60⁰, отсюда, зная sin60⁰ находим высоту ромба ВН:

 

а) 

Можно было вычислить и так, как мы находили АН во вчерашнем задании, через т. Пифагора, зная, что СН=а/2, как катет, лежащий против угла в 30⁰, но сегодня решаем так, чтобы показать разные пути решения.

 

 б) Высоту параллелепипеда HH₁находим из прямоугольного ΔВН₁Н в котором угол Н прямой, угол В=60⁰, и зная значение tg60⁰:

 

 

в) Найти площадь боковой поверхности - самая простая часть этого задания:

, где  и  - периметр основания и высота пераллелепипеда соответственно.

 

 

г) 

Пусть имеем ромб ABCD, т.O - точка пересечения диагоналей, KO- перпендикуляр плоскости ромба

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD.

 AD=46

3*OD=4AO

Пусть x - коэффициент пропорциональности,тогда

 AC=4x

OD=3x

(AO)^2+(OD)^2=(AD)^2

(4x)^2+(3x)^2=(45)^2

 16x^2+9x^2=2025

 25x^2=2025

x^2=81

x=9

то есть

AO=4*9=36

OD=3*9=27

 

Из треугольника OKD:

    (KD)^2=(OD)^2+(OK)^2

     (KD)^2=729+1296=2025

      KD=45

 

Из треугольника OKA

     (AK)^2=(AO)^2+(KO)^2

      (AK)^2=1296+1296=2596

       AK=36*sqrt(2)

то есть

     KD=KB=45

     KA=KC=36*sqrt(2)