Дано: ABCD -ромб, АВ = 6 см. Найти: MN <ВАМ=60градусов. ВМ и ВN-высота, <АМВ и

Либо вместо теоремы косинусов можно доказать тот факт, что треугольник BMN равносторонний, найдя все его углы. Таким образом, BM = MN =

Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади, но не равных) треугольников.
Данный нам треугольник АВС Пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см).
Sabc=6см² и каждый из треугольников имеет площадь, равную 1см².
Тогда искомое расстояние - высота треугольника (одного из шести)  с катетом на гипотенузе AB.  h=2S/АM = 2/(2,5)=0,8 см.

Но для практики решим эту задачу через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины и формулу Герона для площади.
Пусть в треугольнике АВС <С=90° и стороны АС=b=3, ВС=а=4 и АВ=с=5.
Найдем медианы Ма и Мc по формуле:
Ma=(1/2)*√(2b²+2c²-a²).
Ma=(1/2)*√(2*(3²)+2*(5)²-4²)=(1/2)*√(18+50-16)=√52/2.
Mc=(1/2)*√(2*(3²)+2*(4)²-5²)=(1/2)*√(18+32-25)=5/2.
Тогда отрезки медиан:
АО=(2/3)*(√52/2)=2√13/3.
ОМ=(1/3)*(5/2)=5/6.
В треугольнике АОМ имеем (сразу приведя к общему знаменателю):
АМ=5/2 = 15/6.
АО=2√13/3=4√13/6.
ОМ=5/6.
Периметр Р=(20+4√13)/6. Полупериметр р=(10+2√13/6).
Тогда по формуле Герона  Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем:
Sаom=√[(10+2√13)*(10+2√13-15)*(10+2√13-4√13)*10+2√13-5)]/36.  Или:Sаom=√[(10+2√13)*(2√13-5)*(10-2√13)*(2√13+5)]/36.
Мы видим, что у нас под корнем произведение разности квадратов:
Sаom=√[(10²-(2√13)²)*((2√13)²-5²)/36 = √(48*27)/36=36/36 =1.
Итак, мы пришли к началу:
Искомое расстояние (высота ОН, проведенная к основанию АМ треугольника АОМ: ОН=2Sbom/АМ = 2/2,5 = 0,8.
ответ: ОН=0,8см.

P.S. Решение приведено для тех, кто не любит формулу Герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корни. Чаще всего (если не всегда) приходим к произведению разности квадратов в подкоренном выражении.

Отложим на продолжении DС в сторону от D отрезок DC1, равный АB. Соединим C1 и А. 

 В ∆ АDC1 угол АDC=90° (смежный углу АDС). В ∆ АDC1 и ∆ АBС катет DС1=АВ по построению, АD =СВ по условию. ⇒

∆ АDC1=∆ АBС  по первому признаку равенства треугольников. . 

Значит, АC1=АС, поэтому ∆ АC1С - равнобедренный, АD - его высота и медиана, ⇒ ∆ АDC1=∆ АDС.

 Так как ∆ АBС=∆ АDC1( доказано), то ∆ АВС=∆ АDС, ч.т.д.

-------------

Если без подробного доказательства, то по признаку равенства прямоугольных треугольников:

 Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.⇒

∆ ABC=∆ CDA