Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 20 градусів. Знайдіть кут між бісектрисою та висотою (кут НСК), які проведені з вершини прямого кута С.

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию. 

★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★

Дано:

Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).

Доказать:

АВ║МК.

Доказательство:

                      ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).

Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂

ОВ = ОК.

Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.

Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.

▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂

Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).

                      ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.

АМ и ВК — диагонали.

▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.

▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂

Поэтому, по выше сказанному —

АВ║МК ; АК║ВМ

Объяснение: