1. Даны точки А(-3;1), В(1;-2) и С(-1;0 Найдите 1) координаты векторов АВ⃗ и АС⃗; 2) модули векторов АВ⃗ и АС⃗; 3) координаты вектора МК⃗=2АВ⃗ - 3АС;⃗ 4) скалярное произведение векторов АВ⃗ и АС⃗; 5) косинус угла между векторами АВ⃗ и АС⃗. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) АВ⃗ + АС⃗; 2) АС⃗ - АВ;⃗ 3) СА⃗ + СВ⃗. 3. Даны векторы ⃗(4;14) ⃗(-7;k). При каком значении k векторы m⃗ и ⃗ 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? 4. На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены соответственно точки М и Р так, что ВМ: МС = 2 : 5, СР : РD = 3:1. Выразите вектор МР⃗ через векторы АВ⃗ = ⃗ и А⃗ = b ⃗ . 5. Найдите Косинус угла между векторами ⃗ = 4⃗ - ⃗ и ⃗ = m⃗ + 2⃗, если ⃗ перпендикулярен ⃗, и |⃗| = |⃗|=1.

По условию, МСН = 13°.

1) Сумма острых углов СМН, МСН прямоугольного треугольника НСМ равна 90o. Значит, СМН = 90o - МСН = 90o - 13o = 77o

2) Треугольник АМС равнобедренный, т.к. СМ равна половине гипотенузы по свойству из п.3 "Что необходимо знать для решения", а АМ равна половине гипотенузы, т.к. СМ - медиана. Отсюда следствие: угол А равен углу АСМ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.

3) Угол СМН внешний по отношению к треугольнику АМС. Он равен сумме двух внутренних А и АСМ, с ним не смежных. Но А = АСМ как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, А = АСМ = 77o : 2 = 38,5o

4) Один острый угол А треугольника АВС мы нашли. Теперь найдем второй. Сумма острых углов А, В прямоугольного треугольника АВС равна 90o. Значит, В = 90o - А = 90o - 38,5o = 51,5o

Больший угол равен 51,5o.

ответ: 51,5°

А) Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.
Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.

Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = а²√3 /4, где а - сторона основания.
Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²

Высота основания:
АН = а√3/2 = 3√3/2 см
ОН = 1/3 АН = √3/2 см
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH
             SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см
Sбок = 1/2Pосн · SH.
Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см²
Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²

б).
В ΔSAH проведем АК⊥SH.
Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах;
АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC.
Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани.
ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH
             AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см