Три вершини паралелограма ABCD мають координати А(0;-1;9), В(3;8;4), С(2;9;1 Унаслідок паралельного перенесення вершина D переходить у точку (2;2;5). У яку точку переходить центр симетрії паралелограма?

Соединим точки A и D, D и C, С и B. Пусть AC∩BD=E.

∠ADB и ∠ACB вписанные и опирающиеся на хорду AB. Тогда они равны. Т.к. AB - диаметр, ∠ADB = ∠ACB = 90°.

Применив т. об отрезках пересекающихся хорд к хордам AC и DB, получим AE*EC=DE*EB.

Обозначим DE=a, EB=b, AE=c → с*EC=a*b → EC=a*b/c

AC ּ AE + BD ּ BE = (AE+EC)*AE+(BE+ED)*BE=c²+a*b+b²+a*b=c²+2ab+b²=(c²-a²)+(a+b)²=[по т. Пифагора для ΔADE (c²-a²)=AD². DB²=(DE+EB)²=(a+b)²]=AD²+DB²=[по т. Пифагора для ΔADB]=AB²

Т.к. AB - диаметр окружности, то значение AC ּ AE + BD ּ BE не зависит от положения точки E.

24 см и 10 см.

Объяснение:

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

АВ+СD=АD+ВС

Проведем АС; ΔАВС - прямоугольный. Найдем АС из ΔАСD по теореме косинусов:

АС²=СD²+АD²-2*СD*АD*cos 60°=256+900-960*1/2=676;

АС=√676=26 см.

Если АВ+30=ВС+16,  то ВС-АВ=14 см;

Пусть ВС=х см, тогда АВ=х-14 см.

По теореме Пифагора АС²=АВ²+ВС²;  676=(х-14)²+х²;

х²+х²-28х+196-676=0

2х²-28х-480=0

х²-14х-240=0

По теореме Виета

х=-10 (не подходит по условию) и х=24.

ВС=24 см;  АВ=24-14=10 см.