Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

Треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).

Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е.,  ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.

Достаточно доказать, что вектора АВ и ВС, АВ и AD, CD и ВС перпендикулярны
Для этого найдем координаты векторов:
АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или АВ{-2-(-1);1-2}. AB{-1;-1}
BC{1-(-2);-2-1} или ВС{3;-3}.
AD{2-(-1);-1-2} или AD{3;-3}.
СD{2-1;-1-(-2)} или CD{1;1}.
Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
(AB*BC)=Xab*Xbc+Yab*Ybc = -3+3 =0. АВ перпендикулярен ВС.
(AB*AD)=Xab*Xad+Yab+Yad=-3+3=0. АВ перпендикулярен AD.
(BC*CD)=Xbc*Xcd+Ybc*Ycd}=3-3=0. CD перпендикулярен ВС.
Четырехугольник АВСD - прямоугольник.