Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Какой угол имеется в виду?

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, угол 1=углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD, AD= BC и угол B=углу D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол A=углу 1+угол 3=угол 2+угол 4=углу C. 2. Пусть О-точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1= углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответсвенно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать

Если заданы уравнения параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D1 = 0 и Ax + By + Cz + D2 = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

d =   |D2 - D1|        

         √(A² + B² + C²) .

Для этого уравнение второй плоскости надо привести к одинаковым коэффициентам с первой плоскостью.

5x-3y+z+3=0 и 5x-3y+z+3,5=0

d = |3-3.5|/√(25+9+1) = 0.5/√35 ≈ 0,08452.

Одинаковые расстояния от плоскостей 5x-3y+z+3=0 и 5x-3y+z+3,5=0 равны половине найденной величины. Тогда коэффициент D в уравнении срединной плоскости равен:

D = D1 + (0,08452/2)*√35 = 3 + 0,25 = 3,25.

ответ: 5x-3y+z+3,25=0.

Можно было просто найти среднее значении между D1 и D2 = (3+3,5)/2 = 3,25.