Все ребра треугольной пирамиды равны. Вычислите угол образованный боковым ребром с плоскостью основания.

Проводим меньшую диагональ. Она разделит угол в 120 градусов напополам. образовав два угла по 60 градусов.  Противолежащий угол ромба также равен 120 градусам. Меньшая диагональ поделит его на два угла по 60 градусов. Ромб разделён диагональю на 2 треугольника. Сумма углов треугольника всегда = 180 градусам. Известно два из трёх углов. Их сумма равна (60+60)=120 градусам, тогда третий угол = 180-120=60 градусов. Так как углы треугольника равны, он является равносторонним. Значит диагональ равна стороне и равна 9 см.

Дано: ∠А = ∠D = 60°, AB = CD = 12 см, AD = 18 см.

Найти: BC, MN (средняя линия)

Проведём высоты BH и CP. Рассмотрим треугольник ABH:

∠А = 60° по условию, ∠АВН = 90°; по теореме о сумме углов треугольника получаем: ∠АВН = 90° - 60° = 30°. АН = 0,5 АВ = 6 см, как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°. Так как трапеция ABCD - равнобедренная, то PD = AH = 6 см.

НР = AD - AH - PD = 18 - 12 = 6 см. BC = HP = 6 см, как противоположные стороны прямоугольника.

Средняя линяя трапеции равна полу сумме оснований ⇒ MN = (ВС  + НР)/2 = (18 + 6)/2 = 12 см.

ответ: MN = 12 см, BC = 6 см.