Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С ∈ оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о координатах точек в пространстве и формулах для вычисления расстояния между точками.

Задачу можно решить следующим образом:

1. Найдем координаты точки ВС, находящейся посередине между точками А и В. Для этого найдем среднее арифметическое каждой координаты точек А и В:
Координата x: (х1 + х2) / 2 = (-2 + (-6)) / 2 = -4 / 2 = -2
Координата у: (у1 + у2) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
Координата z: (z1 + z2) / 2 = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0

Получили, что точка ВС имеет координаты (-2; 2; 0).

2. Знаем, что С лежит на оси OZ. Значит, у нее координата x и y равны 0. Имеем точку С(0; 0; z).

3. Также известно, что АС = ВС. Для того чтобы найти расстояние АС и ВС, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:

Расстояние между А и С: √((х2 - х1)^2 + (у2 - у1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((0 - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (z - 2)^2)

Расстояние между В и С: √((х2 - х1)^2 + (у2 - у1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((0 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (z - (-2))^2)

Так как АС = ВС, получаем следующее равенство:

√((0 - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (z - 2)^2) = √((0 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (z - (-2))^2)

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

√(4 + 1 + (z - 2)^2) = √(4 + 9 + (z + 2)^2)

4 + 1 + (z - 2)^2 = 4 + 9 + (z + 2)^2

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим следующее квадратное уравнение:

(z - 2)^2 = 13 + (z + 2)^2

4. Решим полученное квадратное уравнение.

Раскрывая скобки, получим:

z^2 - 4z + 4 = 13 + z^2 + 4z + 4

Прибавляем -z^2 к обеим частям уравнения и перемещаем все неизвестные в одну часть выражения:

-4z + 4 - 4z - 4 = 13 - z^2 + z^2

-8z = 13 - 8

-8z = 5

Значит, z = -5/8.

Получили, что координата z точки С равна -5/8.

5. Итак, координаты точки С равны (0; 0; -5/8).

Ответ: координаты точки С равны (0; 0; -5/8).