Дано параллелограмм АВCD. О - точка пересечения его диагоналей. Укажите отрезок, симметричный относительно точки О отрезке: BC.

1. ∠B = 80°, ∠C = 30°.

Теорема. Сумма углов любого Δ равна 180°.

Тогда ∠A + ∠B + ∠C = 180°,

∠A + 80° + 30° = 180°,

∠A = 180° - 80° - 30° = 70°.

Теорема. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Против ∠A лежит сторона BC.

Против ∠B лежит сторона AC.

Против ∠C лежит сторона AB.

∠A = 70°, ∠B = 80°, ∠C = 30°, поэтому

AC > AB, AC > BC, и BC > AB, то есть

AB < BC < AC.

2. Треугольник существует, если выполнено неравенство треугольника: длина наибольшей стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон.

10м < 5м + 8м = 13м,

10м < 13м.

Итак, неравенство треугольника выполнено и треугольник со сторонами 5м, 8м и 10м существует.

Полупериметр АВ+ВС=42/2=21
пусть АВ=х
тогда ВС=21-х
ΔАВС - прямоугольный
по теореме Пифагора:
х²+(21-х)²=(√221)²
х²+(441-42х+х²)=221
х²+441-42х+х²-221=0
2х²-42х-220=0
х²-21х-110=0
Д=(-21)²-4*1*(-110)=441-440=1
х1=(21+1)/2=22/2=11
х2=(21-1)/2=20/2=10
если АВ=10, то ВС=21-10=11
если АВ=11, то ВС=21-11=10
⇒ в любом случае одна сторона 10, другая 11
пусть АВ=10, а ВС=11
проведем высоту ВН
есть формула: высота, опущенная на гипотенузу равна произведению катетов , деленному на гипотенузу   т.е.
ВН=(АВ*ВС)/АС=(10*11)/√221=110/√221
рассмотрим ΔАВС
его площадь S(АВС)=(ВН*АС)/2=((110/√221)*√221)/2=110/2=55
ΔАВС=ΔАСД
⇒ S(АВСД)=S(АВС)+S(АСД)=55+55=110