Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, катет которого равен 2√3 см, а прилежащий к данному катету острый угол – 30° 8 КЛАСС

Длины отрезков, соединяющие середины ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ сторон, заданы в условиии.

В самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. Раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними.

Поэтому трапеция, у которой диагонали равны - равнобедренная.

Раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований - это попросту высота, по условию это 8. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон - это средняя линяя, она равна 8.

Остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. Для этого надо найти длину диагонали.

Проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 - это часть большого основания. В самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты

(9 - 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 - 1 = 8.

Диагональ - гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).

Длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали - как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. То есть она равна 4*корень(2).

Ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. Поэтому эти отрезки образуют ромб. Однако в данной задаче это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. :)

 Сделаем рисунок.
Проведем в треугольнике АВС еще одну высоту СЕ. 
СЕ=АН, так как треугольник АВС равнобедренный, и высоты к равным сторонам равны. 
Поэтому ЕК=3, КС=5 
Из треугольника АЕК можно найти АЕ по т. Пифагора, но этот треугольник египетский, и АЕ равна 4. 
ВМ - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС.  Биссектриса треугольника делит сторону, которую пересекает,  на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 
ВК  делит в треугольнике АВН сторону АН в отношении, равном отношению АК:КН 
АВ:ВН=АК:КН=5:3
 АВ:ВН=5:3 
3АВ=5ВЕ. 
Так как ВН=ВЕ, АВ=ВН+4 
3(ВН+4)=5ВН 
3ВН+12=5 ВН 
2ВН=12см 
ВН=6см 
АВ=ВН+4=6+4=10см 
SАВК=КЕ*АВ:2=3*10:2=15см².