Дана трапеция авсд с основаниями ад = а и вс = в . точки м и н лежат на сторонах ав и сд соответственно , причем отрезок мн параллелен основаниям трапеции . диагональ ас пересекает этот отрезок в точке о. найдите мн, если известно, что площади треугольников амо и сно равны

симпатичная, хотя и простая.

введем обозначения для краткости записи формул.

ао = m; oc = n; mo = x; oн = y; высоту треугольника амо, проведенную из вершины а к стороне мо, назовем h1, высоту треугольника осн к стороне он - h2, высоту трепеции - h;

тогда из параллельности mh к основаниям следуют соотношения

x/b = m/(m+n);

h1/h = m/(m+n);

x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;

y/a = n/(m+n);

h2/h = n/(n+m);

y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;

по условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем

a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой :

n/m = корень(b/a);

x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));

y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));

складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.

ответ мн = корень(a*b);

 

дана равноведренная трапеция авсд. вс - меньшее основание, ад - большее основание, аси вд - диагонали, пересекаются в т.о. ав=вс. угол авд=90градусов.

найти углы трапеции.

решение:

угол авд=углу асд=90градусов (равенство углов следует из того, что трапеция равнобедренная)

треугольник авс равнобедренный, т.к. ав=вс. значит угол авс=углу вса.

угол вса=углу сад, т.к. они накрест лежащие.

угол сад=углу вда, т.к. треугольник аод равнобедренный (ао=од по св-вам трапеции)

сд=вс => треугольник всд равнобедренный => угол свд=углу сдв

треугольник вос равнобедренный, т.к. во=ос (по св-вам трапеции) => угол двс=углу вса.

из всего выше сказанного следует, что

углы вас, сад, адс, вдс, двс и вса равны. возьмем их за х.

(а углы авд и асд равны 90гр)

получаем ур-ие:

(90+х)+(х+х)+(х+х)+(90+х)=360 (в скобках обозначены отдельные углы)

6х+180=360

6х=180

х=30 градусов

 

угол а=углу д=30*2=60градусов

угол в=углу с=90+30=120 градусов.

 

в основании пирамиды -квадрат.рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. этот треугольник ещё и равнобедренный, поэтому гипотенуза больше катета в (корень из 2) раз.итак, диагональ квадрата равна 6*(корень из 2). половина диагонали равна 3*(корень из 2).теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали квадрата, высотой и боковым ребром пирамиды. по теореме пифагора h= квадратный корень из (30^2- (3*(корень из 2))^2)=квадратный корень из (900- 18)==квадратный корень из 882=квадратный корень из (2*441)=12*квадратный корень из 2ответ: h=12*квадратный корень из 2.