В прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 6:8, вписан полукруг с центром на гипотенузе площадь которого равна 72Псм2.Найдите периметр треугольника

Пусть ABCD – трапеция, CD = 2 см, АВ = 3 см, BD = 3 см и АС = 4 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ1. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 3 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС²+ В'С²= АВ'²= 16+9=25, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см²

   Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  

Как это получается?

Объяснение:  Диагональ ВD делит параллелограмм площадью 42 ед. на два равных треугольника. Площадь каждого 42:2=21 ед.

   Ѕ ∆ АРD = 16 ед  (дано), => Ѕ ∆ РВD=21-16=5 (ед).

Треугольники АРD и РВD имеют общую высоту DH. Соответственно:

S(ADP)=AP•DH:2

S(PBD)=PB•DH:2  => S(ADP):S(PBD)=(AP•DH:2):(PB•DH:2) = АР:РВ =>

АР:РВ=S(ADP):S(PBD)=16:5 (см. рисунок приложения).