Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2√3, а периметр равен 3(1+ √3

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2√3, а периметр равен 3(1+ √3).

Дано:   ∠C =90° ,  P =a+b+c = 3(1 + √3) ,где а и b _катеты ,                                  c = 2√3  (гипотенуза).

- - - - -

∠A - ?  , ∠B - ?              

" решение "  :     пусть  ∠A = α  ⇒ a =c*sinα  , b =c*cosα  

* * * очевидно:  sinα > 0 ;  cosα > 0 * * *

c*sinα + c*cosα + c = 3(1 + √3)    || c =2√3 |  ⇔

2√3 (sinα + cosα) +2√3 =3(1 + √3) ⇔2√3( sinα + cosα) = √3 + 3 ⇔

2√3(sinα + cosα ) =√3( 1 +√3) ⇔ sinα + cosα =(1 +√3 ) /2 ⇔

(sinα + cosα)² = ( (1 +√3 ) /2 )² ⇔sin²α + cos²α+2sinα*cosα = 1 +(√3 ) /2 ⇔

1 +sin2α = 1 +(√3) /2 ⇔ sin2α = (√3) /2  ⇒ 2α = 60° или 2α = 120°

α = 30°  или  α = 60°

∠A = α = 30°  ;  ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°

или  α = 60°

∠A = α = 60° ;  ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°

ответ :  ∠A = 30° ; ∠B = 60° или наоборот ∠A = 60° ; ∠B = 30° .

Решение смотрите во вложении

Відповідь:

катети: 3 см, 3√3 см; кути: 90°, 30°

Пояснення:  Описка у завданні: кут вимірюється у градусах, а не см

1.Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°,

 Оскільки трикутник прямокутний, один із кутів дорівнює 90°, а іншій:

 180-(90+30)=60°

2.У прямокутному трикутнику катет, який лежить напроти кута у 30°, дорівнює 1/2 гіпотенузи, тому один з катетів: 6:2=3 см

3.За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів ⇒другий невідомий катет дорівнює: 6²-3²=36-9=27, √27=√9*3=3√3 (см)

Треугольники А0Д и В0С - подобные (уг.В0С = уг.А0Д как вертикальные; уг.СВ0 = уг.АД0 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АД и ВС и секущей ВД).

Площадь тр-ка ВОС равна S1 = 0,5ВС·Н1

Площадь тр-ка АОД равна S2 = 0,5АД·Н2

При этом Н1:Н2 = к -коэфиициент подобия, а S1 : S2 = к²

S1 : S2 = 0,5ВС·Н1  : 0,5АД·Н2

к² = к· ВС: АД

к = 9/16

Итак, нашли коэффициент подобия.

Из подобия тех же тр-ков следует, что ОВ:ОД = 9/16, но ОД = АС - ОВ и

ОВ: (АС - ОВ) = 9/16

16·ОВ = 9·(АС - ОВ)

16·ОВ = 9·АС - 9·ОВ

25·ОВ = 9·АС

ОВ = 9·АС/25 = 9·18:25 = 6,48

ответ: ОВ = 6,48см