Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника авс, если длина гипотенузы равна 6. найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки а, с, д, а1 прямоугольного параллелепипедаавсда1в1с1д1 у которого ав=2, ад=9, аа1=4

радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы. следовательно, 6: 2=3 

 

получившийся многогранник - треугольная пирамида, в основании которой прямоугольный треугольник.  объем пирамиды вычисляют по формуле v=1/3* s*hплощадь осноавния асд получившейся пирамиды равна s =2*9: 2= 18 см²высота равна аа1=4 смобъем многогранника равен 18: 3*4= 24 см³

обяснение такое. высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. в одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (пифагорова тройка 5,12,13). в другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). можно, конечно, тупо сосчитать по теореме пифагора, но результат будет тот же :

итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. причем мы знаем высоту к этой стороне. поэтому площадь треугольника

s = (1/2)*14*12 = 84.

периметр p = 13 + 14 + 15 = 42. s = p*r/2, где r - радиус вписанной окружности.

r = 2*84/42 = 4;

радиус описанной окружности находится так.

пусть угол между сторонами 14 и 15 - это а, тогда

sin(a) = 12/15, и s = (1/2)*14*15*sin(a);

но по теореме синусов 2*r*sin(a) = 13; отсюда получаем

r = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125;  

 

 

 

радиусы этих окружностей найдем через площадь треугольника. 

радиус вписанной окружностиr=s : p , где р=полупериметр треугольника

радиус описанной окружностиr=abc: 4s

чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны знать его третью сторону.

найдем эту сторону по теореме пифагора через высоту.

одна часть основания треугольника равна 12²=13²-х²х²=169-144х²=25х=5

вторая12²=15²-х²х²=225 -144х²=81х=9длина основания треугольника 9+5=14

теперь найдем площадь треугольника по классической формуле: s=12*14: 2=84 см²

полумериметр треугольника (13+14+15): 2=42: 2=21

найдем радиус r  описанной окружности

r=13*14*15: 336=2730: 336=8,125 см

радиус r  вписанной окружности r=s : p r=84: 21=4 см