В прямоугольном треугольнике АВС точка М делит гипотенузу пополам (МВ = АМ = 10Радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь треугольника АВС.

Биссектриса делит катет на отрезки 4см и 5 см, значит весь катет равен 9 см. По свойству биссектрисы она делит сторону треугольника пропорционально соответствующим сторонам. Пусть коэффициет пропорциональности равен х (х>0), тогда катет равен 4х, а гипотенуза 5х. По теореме Пифагора (5х)² = (4х)² + 9²
25 х² = 16х² + 81
9х² = 81
х² = 9
х = 3
Значит второй катет равен 4 * 3 = 12
а гипотенуза 5 * 3 = 15
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы
R = 15 : 2 = 7,5см
2) Предположим, что проекция катета равного 4 см на гипотенузу равна х см, тогда по соотношениям в прямоугольном треугольнике
4² = х * (х +6), получим квадратное уравнение
х² + 6х - 16 = 0. по теореме обратной к теореме Виета. Получим корни
 х₁ = 2   и х₂ = -8(второй корень не подходит по условию задачи).
Значит гипотенуза равна 2 +6 = 8 см, а высота h² = 2 * 6 = 12
h = √12 = 2√3cм

Биссектриса делит катет на отрезки 4см и 5 см, значит весь катет равен 9 см. По свойству биссектрисы она делит сторону треугольника пропорционально соответствующим сторонам. Пусть коэффициет пропорциональности равен х (х>0), тогда катет равен 4х, а гипотенуза 5х. По теореме Пифагора (5х)² = (4х)² + 9²
25 х² = 16х² + 81
9х² = 81
х² = 9
х = 3
Значит второй катет равен 4 * 3 = 12
а гипотенуза 5 * 3 = 15
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы
R = 15 : 2 = 7,5см
2) Предположим, что проекция катета равного 4 см на гипотенузу равна х см, тогда по соотношениям в прямоугольном треугольнике
4² = х * (х +6), получим квадратное уравнение
х² + 6х - 16 = 0. по теореме обратной к теореме Виета. Получим корни
 х₁ = 2   и х₂ = -8(второй корень не подходит по условию задачи).
Значит гипотенуза равна 2 +6 = 8 см, а высота h² = 2 * 6 = 12
h = √12 = 2√3cм