Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 0 , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу

меньший катет лежит против меньшего угла и равен половине гипотенузы, т.к. меньший угол равен 30°, поскольку сумма всех углов треугольника 180°, то на долю третьего угла приходится 30°,

значит, обозначив гипотенузу х /см/, меньший катет 0.5х /см/, составим и решим уравнение. х+0.5х=42

1.5х=48

х=42/1.5

х=28

ответ 28 см

В равнобедренном тр-ке АВС ∠ВАС=(180-120)/2=30°.
Опустим высоту ВМ на сторону АС. АМ=МС.
В тр-ке АВМ АМ=АВ·cos30=3√3 см.
АС=2АМ=6√3 см.
ВМ=АВ·sin30=3 cм.
В тр-ке АВА1 ВА1²=АА1²+АВ²=8²+6²=100,
ВА1=10 см.
В тр-ке А1С1В проведём высоту ВК на сторону А1С1. ВК²=ВА1²-А1К².
В прямоугольнике АСС1А1 А1К=АМ=3√3 см, значит 
ВК²=10²-(3√3)²=73,
ВК=√73 см.
а) Площадь сечения А1С1В: S=А1С1·ВК/2=6√3·√73/2=3√219 см² - это ответ.
б) В тр-ке ВКМ МК⊥А1С1, ВК⊥А1С1, значит ∠ВКМ - угол между плоскостями А1С1В и АСС1 (А1С1 принадлежит обоим плоскостям)
tg(BKM)=ВМ/МК=3/8 - это ответ.

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.