Решить по рисунку (7класс)

(5)  (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6)  (5) – очевидно. (4)  (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние  , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса  . 

(8)  (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние  ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы. 

(8)  (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то  BAC =  BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом, 

Чертим прямоугольник ABCD, в котором AB=CD = a - меньшие стороны. Угол BOA=60*.

Диаметр описанной окружности  - это длина диагонали данного прямоугльника. Ее и будем искать.

1) Рассм треуг АОВ ( в нем уг О=60*). Этот треуг  - р/б, так как диагонали прямоуг равны и точкой О делятся пополам. (ВО=АО). След углы при основании р/б треуг АОВ равны. Найдем их: уг А=уг В = (180-60):2=120:2=60*. След треуг АОВ  - равносторонний АО=ВО=АВ=а.

2) Диагональ прямоугольника АС=2*АО, АС=2а= d окружн

ответ: 2а  - диаметр опис около прямоуг окружности