В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов ; боковая сторона и меньшая из параллельных сторон трапеции равны 8 см; диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 45 градусов . Вычислите объём призмы

Вариант решения.  
 На рис. 1 основания трапеции расположены по разные стороны от диаметра.   ОМ - расстояние от центра до хорды=7.  
ОК - расстояние до хорды=5.  
R=(√61):2
 Из ∆ MOD  по т.Пифагора ОМ=√3  
Из ∆ СOD по т.Пифагора ОК=3 
КМ=высота трапеции и равна ОК+ОМ=3+√3 
ВН=КМ=3+√3  
∆ BHD ~ ∆ MED⇒  
BH:ME=HD:MD 
HD=HM+MD=6  
(3+√3):ME=6:3,5 
6ME=3,5*(3+√3) 
ME=3,5*(3+√3):6=(10,5+3√3):6  
OE=МЕ-ОМ  
ОЕ=3,5*(3+√3):6-√3=[(10,5+3√3):6]-√3  
OE=(10,5-2,5√3):6=(4,2-√3):2,4= ≈1,0283
                     * * * 
  На рис.2 вся трапеция расположена по одну сторону от диаметра, ее высота КМ= ОК-ОМ, тогда   
OЕ = МЕ+ОМ=(4,2+√3):2,4= ≈ 2,472
------
ответы равны тем, что даны в первом решении данной задачи. 

Обозначим d5 - расстояние от центра окружности до хорды длины 5; d7 - до хорды длины 7, x - расстояние от хорды длины 5 до точки пересечения диагоналей трапеции.

d5^2 + (5/2)^2 = R^2 = 61/4; d5^2 = 36/4 = 9; d5 = 3;

d7^2 + (7/2)^2 = R^2 = 61/4; d7^2 = 12/4 = 3; d7 = √3;

Высота трапеции h = d5 - d7 = 3 - √3; или h = d5 + d7 = 3 + √3; (Основания трапеции могут лежать с одной стороны от центра, или - по разные, по этому есть 2 варианта)

Из подобия треугольников, составленных диагоналями и основаниями,

x/(h - x) = 5/7; Отсюда x = h*5/12;

И в первом и во втором случае расстояние от центра до точки пересечения диагоналей будет 

d5 - x = d5 - (d5 +- d7)*5/12 = (7/12)d5 +- (5/12)d7

В первом случае искомое расстояние
x + d7 = (7/12)(3 - √3) + √3 = 7/4 + 5√3/12;
Во втором x - d7 = (7/12)(3 + √3) - √3 = 7/4 - 5√3/12;
Ох, я надеюсь, что это правильный ответ...