Периметр правильного шестиугольника равен 24 см. Найдите его площадь .​

Полное решение прикрепляю.

Идея решения:

1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).

2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:

AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -

выражаем cosAKB.

3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.

4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.

5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.

Для решения задачи нам понадобятся знания о треугольниках и их свойствах.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Медианы этого треугольника пересекаются в точке М. Медианы – это отрезки, которые соединяют вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теперь нам дано, что CM равно 6 см. Нам нужно найти гипотенузу AB.

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним одно интересное свойство прямоугольных треугольников. Говорят, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на два равных отрезка. И наоборот, если мы знаем медианы и их точку пересечения, то можем сказать, что они делят гипотенузу на три равных отрезка.

Итак, если точка М является точкой пересечения медиан, то она делит гипотенузу AB на два равных отрезка AM и MB.

Если мы знаем, что CM равно 6 см, это означает, что AM и MB тоже равны 6 см каждый.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, гипотенуза AB и катеты AM и MB.

Таким образом, мы имеем:
AB² = AM² + MB²

Значение AM и MB мы уже знаем, они равны по 6 см каждый.

Подставляем значения:
AB² = 6² + 6²

AB² = 36 + 36

AB² = 72

Теперь нам нужно найти корень квадратный из AB², чтобы получить значение гипотенузы AB.

AB = √72

AB = √(36 × 2)

AB = 6√2

Таким образом, гипотенуза AB равна 6√2 или примерно 8.49 см (округленно до двух знаков после запятой).

Резюмируя, чтобы найти гипотенузу AB в прямоугольном треугольнике ABC, мы использовали свойство медианы, делящей гипотенузу на два равных отрезка, и теорему Пифагора для нахождения значения гипотенузы. Ответом является 6√2 (или примерно 8.49 см).