Извините, фото не могу приложить. Задача: Есть прямоугольный треугольник АВС, внутри круг. АВ=52 Радиус круга - 8 Найдите периметр

Высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла, равна 9:6·2= 3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,  есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Найдем эти отрезки, обозначив один из них х, другой 6-х:

9=х(6-х)
9=6х-х²
3²= x *(6-x) 
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня х=3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2

Проверка:

Площадь найдем половиной произведения катетов:

S= (3√2)·(3√2):2=9·2:2=9 cм² 

Пусть основания трапеции a (большее) и b, боковая сторона ПО УСЛОВИЮ тоже равна b, а диагональ a.
Легко видеть, что диагональ является биссектрисой угла α трапеции при большем основании, поскольку треугольник со сторонами b и b - равнобедренный. Угол между диагональю и большим основанием равен углу диагонали с меньшим основанием, и - следовательно - равен углу диагонали с боковой стороной. Тогда из равнобедренного треугольника, образованного большим основанием, диагональю и боковой стороной, получается α/2 + 2*α = 180°; α = 72°;
Этот угол, само собой, равен углу между диагоналями - угол между диагоналями является внешним при вершине для равнобедренного треугольника, образованного двумя диагоналями и большим основанием, у которого углы при основании равны α/2; 

У этой задачи есть очень важное и совсем нетривиальное продолжение. 
Если продлить боковые стороны до пересечения, то угол при вершине получившегося треугольника будет равен 180° - 2*72° = 36°; получился еще один равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны - диагональ, и боковая  сторона "достроенного" треугольника. То есть у "достроенного" треугольника с основанием b боковые стороны равны диагонали a. 
Весь же треугольник (включая трапецию) можно описать так - это равнобедренный треугольник, у которого равны между собой три отрезка - основание, биссектриса угла при основании и отрезок боковой стороны от вершины до точки пересечения с биссектрисой.
Этих свойств треугольника достаточно, чтобы угол при основании был равен 72°;
Отсюда получается по свойству биссектрисы 
a/b = (b + a)/a; или 4*x^2 + 2*x - 1 = 0; где x = b/(2a) = cos(72°); 
отсюда cos(72°) = (√5 - 1)/4;
С тригонометрии для cos(72°) (или, что то же самое, sin(18°)) можно получить кубическое уравнение. Его тоже можно решить, конечно. Но с построенного треугольника для cos(72°) получается квадратное уравнение. Это очень ценный результат.