В равнобедренной трапеции угол при основании равен 30°, а высота равна 12 см. Найдите полусумму оснований трапеции, если в неё вписана окружность. ответ дайте в сантиметрах.

Объяснение:

АВСД-трапеция , ∠А=30° АВ=24 см, ВК ⊥АД  , ВК=12 см.

ΔАВК-прямоугольный. Против угла 30° лежит катет ВК=12 см ⇒гипотенуза АВ=24 см.

Т.к трапеция равнобедренная , то АВ=СД=24 см.

Если в можно вписать окружность то суммы его противолежащих сторон равны  ⇒АВ+СД=ВС+АД=24+24=48 (см)

(ВС+АД) :2=24 (см)

Треугольник  DAB  - прямоугольный. Угол DBA = 30 градусов, так как угол В 60 градусов по условию и угол DBC=30 градусов.
DB= 8 . В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит гипотенуза в два раза больше катета.
Обозначим основание перпендикуляра из точки D к стороне СВ буквой К
В треугольнике DKB  угол DKB= 90 градусов, угол KBD = 30 градусов, Гипотенуза DB=8, значит DK = 4
В треугольнике CDK  угол DCK=30  градусов, катет DK=4, значит гипотенуза DC=8
И потому АС = CD +DA=8+4=12

Источник: предыдущее решение этой задачи.

    Sбок = a²sin2β (sin(α/2) + cos(α/2))

Объяснение:

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

ΔА₁АС:   ∠A₁AC = 90°

              sinβ = AA₁ / A₁C,   ⇒   AA₁ = A₁C · sinβ,

              AA₁ = a · sinβ

              cosβ = AC / A₁C,   ⇒  AC = A₁C · cosβ,

              AC = a · cosβ.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности. Тогда для окружности, описанной около прямоугольника ABCD ∠АОВ - центральный, а ∠ACB - вписанный, опирающийся на ту же дугу, значит

∠АCB = 1/2 ∠AOB = α/2.

ΔABC:   ∠ABC = 90°

             sin∠ACB = AB / AC,  ⇒  AB = AC · sin∠ACB,

             AB = a · cosβ · sin(α/2),

             cos∠ACB = BC / AC,  ⇒  BC = AC · cos∠ACB,

             BC = a · cosβ · cos(α/2).

Sбок = Pосн · AA₁

Sбок = (AB + BC) · 2 · AA₁

Sбок = (a · cosβ · sin(α/2) + a · cosβ · cos(α/2)) · 2 · a · sinβ =

= a · cosβ(sin(α/2) + cos(α/2)) · 2 · a · sinβ =

= 2a²sinβ·cosβ(sin(α/2) + cos(α/2)) =

= a²sin2β (sin(α/2) + cos(α/2))