В тексте дано определение скрещивающихся прямых. Правильно ли следующее определение:"Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые". 2) Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида? 3) Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида? 5) Дана прямая а и точка А вне ее. Сколько прямых скрещивающихся с а, можно провести через точку А? 6) Для того, чтобы две прямые не были скрещивающимися (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости. 7) Для того, чтобы две прямые были параллельными (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости.

В правильной шестиугольной призме противоположные грани параллельны.
В основаниях малые диагонали равны.
Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.

Точки А, С₁, В и D₁ не лежат в одной плоскости, поэтому прямые АС₁ и BD₁ скрещивающиеся.

AB║DE и AB = DE, значит АВD₁E₁ параллелограмм, ⇒  АЕ₁║BD₁.
Тогда ∠E₁AC₁ = ∠(АЕ₁ ; AC₁) = ∠(BD₁ ; AC₁) = α - искомый.

Найдем малую диагональ шестиугольника из ΔАВС по теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos120°
AC² = 9 + 9 - 2·3·3·(-1/2) = 18 + 9 = 27
АС = 3√3,    АЕ = АС = 3√3.

ΔАЕЕ₁: ∠АЕЕ₁ = 90°, по теореме Пифагора
               АЕ₁ = √(АЕ² + ЕЕ₁²) = √(27 + 16) = √43

ΔАСС₁ = ΔАЕЕ₁ по двум катетам, значит
АС₁ = АЕ₁ = √43

С₁Е₁ = АС = 3√3 (малая диагональ правильного шестиугольника)

Из ΔС₁АЕ₁ по теореме косинусов:
С₁Е₁² = АС₁² + АЕ₁² - 2·АС₁·АЕ₁·cosα
cosα = (АС₁² + АЕ₁² - C₁E₁²) / (2·AC₁·AE₁)
cosα = (43 + 43 - 27) / (2 · √43 · √43) = 59/86

α = arccos (59/86)

#1

Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним

BCD = A + B

120 = 1,6B

B = 75

A = 0,6 * 75 = 45

C = 180 - 120 = 60

#2

Нужно построить основание (просто отрезок указанного размера), провести к нему срединный перпендикуляр (с циркуля) и отметить на нём точку, которая будет удалена от концов основания на длину радиуса (это тоже с циркуля). Этой точкой будет являться центр описанной окружности. Две вершины треугольника - это концы основания, а третья - точка пересечения срединного перпендикуляра с описанной окружностью.