Геометрия, векторы, сложение и вычитание.

По т.Пифагора найдём гипотенузу. 

АС=√(BC²+AC²)=√(256+144)=20 см

Высоту BO проще всего найти из площади треугольника. 

S=BC•AB/2

S=BO•AC/2 Следовательно, 

BC•AB=BO•AC, откуда 

BO=BC•AB:AC

BO=16•12:20=9,6 см

-----

Вариант решения ( несколько длиннее) - его алгоритм  дан ниже. 

1) Находим гипотенузу по т.Пифагора 

2) Катет прямоугольного треугольника  – среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на неё. ⇒

АВ²=АС•АО, ⇒ АО=АВ²:АС  Отрезок СО находим вычитанием АО из гипотенузы или тем же что АО. 

3) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. ⇒

ВО²=СО•АО. Вычисления дадут  ту же длину ВО=9,6 см

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция.
основание AD = 14 см
основание BC = 6 cм
∠CDA = 30°

Опустим перпендикуляр (высоту трапеции) CE на основание AD.
АВСD - прямоугольник ⇒ AE = BC, AB = CE как противоположные стороны прямоугольника.
 ⇒ DE = AD - BC
DE = 14 - 6 = 8 (cм)

В прямоугольном треугольнике CDE
CD - гипотенуза
DE = 8 cм - катет, прилежащий к ∠СDA.
CE - катет, противолежащий ∠СDA.

Найдем СЕ тангенса ∠СDA. Тангенсом ∠CDA является отношение пртиволежащего ему катета CE к прилежащему катету DE.

CE = DE * tg(CDA)
CE = 8 * tg30° = 8 * √3/3 = 8√3 / 3 (см)

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований трапеции на высоту.

         AD + BC
S = --------------- * CE
              2

          14 + 6           8√3         10 * 8√3
S = ---------------- * --------- = --------------- = 80√3 / 3 (см²) 
              2                 3               3