докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках: A(-1;2), B(2;5), C(2;1), D(-1;-2) является параллелограммом. по второму признаку параллелограмма. *если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник называется параллелограммом.*​

Объяснение: AH = 3 т.к. единичный отрезок = 1, HB также = 3. AB = √(AH^2 + BH^2) (по Пифагору) = √18. DC = √(DH^2 + HC^2) (также по Пифагору) = √18. => AB = DC. AD = 4. BC = 4 => AD = BC. AB= DC, AD =BC, что и требовалось доказать.

Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом 120°, равен  см. Найдите стороны треугольника

Объяснение:

ΔАВС, ∠В=120°, О-центр описанной окружности. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Пусть ВН⊥АС, О∈ВН., ОВ=ОА=6√3 см.

По теореме синусов( отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности) :  ,    , АС=12√3* =18 (см).

По свойству высоты равнобедренного треугольника ∠АВН=∠НВС=60°, АН=НС=9 см.

ΔАВН-прямоугольный , sin 60°=  , АВ=6√3 см ⇒ВС=6√3 см.

См. рис1:

Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу 

Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна 

Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

........

N-угольник состоит из N - 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна  (строго доказываеться с метода математической индукции)
------------------------------------------------

Теперь сама задача см. Рис. 2
По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то 
также 

Находить скалярное произведение будем за опредилением через угол:


Как видим, нам нужно найти величину угла  и длину стороны .

(1) :

угол правильного 6-угольника равен: 

диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол 

(2) :
для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:


также из треуг. FED найдем угол 

треуг. FED равнобедренный, по этому 

тогда угол 

из треуг. DFA за теор. Пифагора:


------------------------\\
тогда:


ответ: 1