Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Знайдіть обʼєм піраміди.

Проведем к точке касания диаметр окружности.
Так как касательная и диаметр к точке касания взаимно перпендикулярны, то диаметр перпендикулярен и параллельной касательной хорде и делит ее пополам. 
Если две хорды окружности  пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. 
Диаметр - самая большая хорда окружности. 
Произведение отрезков хорды 32*32 
Пусть часть диаметра от центра окружности до точки пересечения будет х. Тогда отрезки диаметра будут r+x и r-x 
32*32=(r+x)*(r-x)=r² -x² 
1024=1600-х² 
х²=576х=24 см 
Расстояние от хорды до касательной равно
 r-х=40-24=16 см

У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.