Диагональ прямоугольника в 2 раза больше за сторону. Найти угол между диагоналями.

это фигура представляет собой прямоугольный треугольник, а в прямоугольном треугольнике угол против 30° равен половине гипотенузы

угол между диагоналями:

180°-(30°+30°)=120°

180°-120°=60°(угол между диагоналями)

 Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Точка удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости трапеции.

———————

ответ: 8 см.

Объяснение:

Назовем данную точку Е.

 Точка удалена от каждой стороны трапеции на равное расстояние, т.е. на  длину перпендикуляров, проведенных от этой точки к сторонам трапеции (см.  рисунок во вложении.)

                    ЕК=ЕF=EM=EP.

  Искомое расстояние  - перпендикуляр ЕО к плоскости трапеции. Прямоугольные треугольники ЕOF=EOM=EОP=EOK,  проекции  их гипотенуз - по т. о 3-х перпендикулярах - перпендикулярны сторонам трапеции и равны  радиусу вписанной в трапецию окружности.

  Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который вписана окружность, равны. ⇒ АВ+СD=BC+AD=8+18=26. Боковые стороны равны между собой (дано), ⇒ их длина 26:2=13  см.

 Из вершины В трапеции опустим перпендикуляр ВН на АD. Он является высотой трапеции и равен диаметру вписанной окружности.

АН - полуразность оснований. АН=(АD-ВС):2=5.

Из ∆ АВН по т.Пифагора ВН=√(AB²-AH²)=√(13²-5²)=12 см ⇒ d= МК=12, ОК=r=12:2=6 см.

Из ∆ ЕОК по т.Пифагора ЕО=√(EK²-КО²)=√(10²-6²)=8 (см).

В треугольнике ABC, AC = CB = 8, угол ACB = 120 градусов. Точка M удалена от плоскости треугольника на расстоянии 12 см и находится на равном расстоянии от вершин треугольника ABC. 

Найти угол между MA и плоскостью треугольника ABC

Точка M находится на равном расстоянии от вершин треугольника ABC, следовательно, наклонные МА, МС и МВ равны, их проекции также равны, а М проецируется в центр В Описанное вокруг Δ АВС окружности. 

ОА = ОВ = ОС = R

Углы при А и В равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.

∠А = ∠В = (180º-120º): 2 = 30º

по т.синусов

R = (AC: sin 30º): 2 = (8: 0,5): 2 = 8 см

Δ МOA - прямоугольный, МО = 12, ОВ = 8, и tg ∠MAO = 12/8 = 1,5

∠MAO =  ≈56º20 "