Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса R. Определи расстояние OA, если ∡A = 90° и R = 23 см.

Задача #1.

Рассмотрим прямоугольный △ABC:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠А = 90° - 45° = 45°.

Т.к. ∠А = ∠В = 45°, то △ABC - равнобедренный.

Т.к. CD Ʇ AB ⇒ CD - высота, проведённая к основанию равнобедренного тр-ка.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой, и высотой.

⇒ высота CD - медиана равнобедренного △ABC.

Медиана, проведённая из прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

⇒ медиана CD в 2 раза меньше AB, т.е. AB = 14 (см).

ответ: АВ = 14 (см).Задача #2.

Рассмотрим прямоугольный △PKF:

∠1 + ∠KPC = 180˚, т.к. они смежные ⇒ ∠KPC = 180˚ - 150˚ = 30˚.

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ катет KE в 2 раза меньше РЕ, т.е. РЕ = 20 (см).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠PKC = 90˚ - 30˚ = 60˚.

Т.к. ∠PKC = 60˚, а ∠PKE = 90˚ ⇒ ∠CKE = 90˚ - 60˚ = 30˚.

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ катет CE в 2 раза меньше KE, т.е. CE = 5 (см).

Т.к. PE = 20 (см), а СЕ = 5 (см), то СР = 20 - 5 = 15 (см).

ответ: CE = 5 (см); CP = 15 (см).Задача #3.

Пусть отрезок, делящий △ABC на два других будет называться BD.

1. Рассмотрим прямоугольный △DBC:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠DBC = 90˚ - 65˚ = 25˚.

2. Рассмотрим прямоугольный △ABC:

Т.к. на рисунке ∠ABD = ∠DBC, то BD - биссектриса ∠ABC ⇒ ∠ABC = 50˚.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠CAB = 90˚ - 50˚ = 30˚.

ответ: ∠CAB = 30˚.

Объяснение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

1) прямая DC1 и плоскость A1B1C1

DD1 ⊥ (A1B1C1) ⇒ DD1 ⊥ D1C1 ⇒ D1C1  - проекция прямой DC1 на плоскость A1B1C1, а ∠DС1D1 - искомый угол.

Рассмотрим ΔDС1D1 (∠D1=90°):  

D1C=A1B1=AB=5

DD1=AA1=12

tg ∠DС1D1 = D1D1/C1D1 = 12/5

∠DС1D1 = arctg (12/5)

2) прямая B1D и плоскость ABC

BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD ⇒ BD  - проекция прямой B1D на плоскость ABC, а ∠B1DB- искомый угол.

Рассмотрим ΔB1DB (∠B=90°):

BB1=AA1=12

BD найдём из прямоугольного ΔABD(∠A=90°) по т.Пифагора:

BD² =AB²+AD²=25+49=74

tg ∠B1DB=BB1/BD=   = =

∠B1DB= arctg