Дан параллелограмм с длинами сторон 12 и 8. Биссектрисы его углов при пересечении образуют четырёхугольник. Чему равны длины диагоналей этого четырёхугольника?

Дан параллелограмм ABCD с длинами сторон 12 и 8. Биссектрисы его углов при пересечении образуют четырехугольник. Чему равна длина диагоналей этого четырехугольника?

 По свойству параллельных прямых и секущей сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Следовательно, биссектрисы его соседних углов пересекаются под прямым углом. Поэтому четырехугольник, образованный четырьмя биссектрисами параллелограмма - прямоугольник.    Обозначим его вершины К, L, M и N.

Биссектрисы параллелограмма, являясь секущими,  отсекают от него равнобедренные треугольники  ( они делят углы пополам, и накрестлежащие углы тоже равны). Противоположные стороны параллелограмма равны =>

АВ=BQ=AT=CD=CR=DS=8   Тогда ВR=12-CR=4.  Аналогично  длина отрезков  QC,, DT,, AS равна 4.

Отрезки   QR и TS равны 12-2•4=4.  

По 1-му признаку равенства треугольников ∆ АВТ=∆ RCD и  ∆ ABQ=∆ СDS ⇒ их стороны и углы, заключённые между ними, равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса=высота=медиана. ⇒ BL=LT=RN=ND

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: ВТ║RD,  а BR║TD как лежащие на параллельных сторонах ABCD.

Из доказанного выше BL=RN. ⇒   BL=RN. ⇒

Четырехугольник BRNL – параллелограмм, ⇒LN=BR=4

LN - диагональ прямоугольника  KLMN. Диагонали прямоугольника равны.

КМ=LN=4 (ед. длины)

Подробнее - на -

Объяснение:

ответ:    S біч = ( 24 + 12√2 ) см² .

Объяснение:

В паралелепіпеді ABCD - паралелограм ; ∠А = 45° ; АВ =2√2 см ;

AD = 4 cм ; AC₁ = 7 см ;  S біч - ?          S біч= P * H ;

P = 2( 2√2 + 4 ) см .  У паралелограмі ABCD  ∠В = 180° - ∠А = 180°- 45°=

= 135° .  Із ΔАВС  за Т . косинусів : АС = √[(2√2)²+ 4² -2√2* 4cos135°] =

= √ ( 8 + 16 + 16√2cos45°) = √ ( 24 + 16√2 * √2/2 ) = √ 40 = 2√10 ( см ) .

Із прямок . ΔАСС₁ за Т . Піфагора  СС₁ = Н = √ (7² - ( 2√10 )² ) =

= √ (49 - 40 ) = √9 = 3 ( см ) .

S біч = ( 4√2 + 8 ) * 3 = ( 24 + 12√2 ) ( см² ) .

  Найдите тангенс угла АОВ. сторона одной клетки равна 1. Запишите ответ в виде целого числа, обыкновенной или смешанной дроби.

ответ: 7

Объяснение.

  Клетки на рисунке - квадратные. Следовательно, прямые, проведенные через их противоположные вершины,  - их диагонали - пересекутся под прямым углом.

  Проведем из В прямую по диагоналям соседних клеток к стороне ОА данного угла. Т.к. прямая ОА проходит также по диагонали клеток с общей вершиной, ВН перпендикулярен ОА. Треугольник ВОН - прямоугольный.

Примем диагональ клетки равной а. Тогда катет ОН=0,5а ( половина диагонали клетки), и ВН=3,5а.

Тангенс - отношение катета, противолежащего углу, к  катету прилежащему.

tg AOB=tg НОВ=BH/OH=3.5/0.5=7