Через серединную точку P отрезка KM проведён перпендикулярный отрезок LN, а через конечные точки K и M — параллельные прямые KN∥ML, которые пересекают перпендикуляр соответственно в точках N и L. Определи периметр четырёхугольника KLMN, если длина отрезка KN = 56 см.

Боковая сторона АВ трапеции равна по Пифагору √(49+4) = √53 (так как высота ВН=7, а отрезок АН равен полуразности оснований).
Косинус острого угла А трапеции равен Cosα = АН/АВ = 2/√53.
По теореме косинусов из треугольника AКD (K - середина противоположной боковой стороны) имеем:
АК² = KD²+AD²-2*KD*AD*Cosα = 53/4+144-2*(√53/2)*12*(2/√53)=533/4. Тогда АК = √533/2 ≈ 11,5см.
По теореме косинусов из треугольника ВСК имеем:
ВК² = СK²+ВС²-2*СK*ВС*Cos(180-α) = 53/4+64+2*(√53/2)*8*(2/√53)=373/4. Тогда ВК = √373/2 ≈ 9,7см.

Сделаем рисунок трапеции АВСД.
Так как углы при основании АD в сумме равны 50°+40°=90°,
продолжения сторон АВ и СD пересекаются в точке О под прямым углом
( третий угол образовавшегося треугольника АОD=180°-90°=90°)
По условию НМ=13см,
КЕ=15см
Проведем ВТ праллельно ОD.
Угол АВТ - прямой.
Треугольник АВТ - прямоугольный.
Прямоугольные треугольники АОD и АВТ подобны по прямому углу и острому углу А, общему для обоих треугольников.
Медиана ВР треугольника АВТ параллельна ОМ и, следовательно, параллельна НМ и равна ей.
ВР=НМ=13см
Медиана прямоугольного треугольника равна половине его гипотенузы.
АТ=2 ВР=26см
КФ - средняя линия треугольника АВТ и равна АТ:2=26:2=13cм
Рассмотрим четырехугольник ВСDТ. Это параллелограмм по построению.
ВС=ЕF
ЕF=КЕ-КФ=15-13=2cм
ВС=FЕ=ТD=2см
АД=АТ+ТД=26+2=28см
ответ: Основания трапеции равны 2см и 28см.

Решение может быть неверным, однако...Я сама не очень любительница геометрии.^_^