Из точек А и В на прямую а опущены перпендикуляры АС и ВD причём AC=BD. Докажите, что ∆ АСD=∆ ВDС

Рассмотрим треугВДС и треугАСД

АС=ВД (по условию)

СД - общая сторона

угАСД=угВДС=90 (тк АС и ВД - перпендикуляры)

=> треугВДС=треугАСД (по I признаку)

Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.
  Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
1) сторона BD — общая
2)∠ABD=∠CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)
3) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)
Значит,  ∆ABD= ∆CDB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:AB=CD, AD=BCи равенство соответствующих углов:∠A=∠C.В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ABD=∠CDB и ∠ADB=∠CB.Следовательно,∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC,то есть, ∠B=∠D.Что и требовалось доказать.

Плоскости α и β пересекаются по линии m.
Точки А и В лежат в одной плоскости (α). Их можно соединить и продолжить до пересечения с m  в точке D.
BD – линия пересечения плоскости АВС с плоскостью α. 
Точки D и С лежат в одной плоскости (β). Соединив их, получим СD –линию пересечения плоскости АВС с плоскостью β. 
Точки А, В, С, D лежат в плоскости АВСD.
BD и CD – линии пересечения плоскости АВС с плоскостями α и β.
---------
Примечание: К вопросу с задачами, в которых есть упоминание о рисунке, не  следует забывать этот рисунок прикладывать.