В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равным 60 см, вписана окружность. Расстояние от вершины А до центра окружности равно 34 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Обозначим через D середину АС и проведем через эту точку перпендикуляр к АС. Пусть этот перпендикуляр пересекается с прямой АВ в точке В1, а с прямой СВ в точке В2. Тогда по второму признаку треугольники АDВ1 и СDВ2 равны, поскольку АD = СD , углы B1АD и В2СD равны по условию, а равенство углов В1DА и В2DС следует из этого, что В1 и В2 лежат на перпендикуляре к АС, проходящем через D. Таким образом, DВ1 = DВ2 , точки B1 и В2 должны совпасть друг с другом, а значит, совпасть с точкой В. Следовательно, АВ = СВ.

Площадь прямоугольника-s= a*b докажем, что  s = ab.

достроим прямоугольник до квадрата со стороной  a + b, как показано на рисунке 1.

так как  площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата равна (a + b)2.с другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью s, равного ему прямоугольника с площадью s  (так как, по свойству площадей, равные многоугольники имеют равные площади)  и двух квадратов с площадями a2  и b2.  так как четырехугольник составлен из нескольких четырехугольников, то, по свойству площадей, его площадь равна сумме площадей этих четырехугольников: (a + b)2  = s + s + a2  + b2, или  a2  + 2ab + b2  = 2s + a2  + b2.отсюда получаем:   s = ab, что и требовалось доказать.