Два кола мають внутрішній дотик у точці А, причому менше колопроходить через центр більшого. Доведіть, що будь-яка хорда більшогокола, яка виходить із точки А, ділиться меншим колом навпіл.​

R = 8;  r =2 .
Пусть  другая касательная   CD (проведем ) ;  C∈  (O₁ ; 8)  ,  D∈(O₂ ; 2) 
O₁  и  O₂  центры окружностей .
BA =BC  ;  (свойство  касателей проведенной из точки   )
BA  = BD ;
BC =  BD ⇒  BA =BC =BD  = 1/2* CD ;  
  O₂E ||  CD   , E∈  [ O₁C ];  ясно CDO₂E -прямоугольник ⇒ CD = O₂E.
Из     ΔOEO :
O₂E² = O₁O₂² - O₁E² = O₁O₂² - (CO₁ -EC)²  =  (R +-r)² - (R-r)²  = 4Rr ;
CD = O₂E =2√R*√r ;         [ 2sqrt(Rr) ]   ,
 BA = 1/2*CD = √ R*√r ; 
BA = √8*√2= 4 .
 . ⇒ BA =1/2* CD =4;

ответ :   BA =  √ R*√r . 

 Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4.
РЕШЕНИЕ
Ясно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности. 
В равнобедренная трапеция АВСД основание  ВС=4, r ω=4, ⇒ 
 высота СН=2r=8,
 СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки.
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒
 угол СОД=полусумме этих углов и равен 90°
ОР - высота  прямоугольного треугольника СОД и равна r=4
Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу:
 ОР²=СР*РД
16=2*РД
РД=16:2=8 
В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник  СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора)
КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии. 
 Δ СЕР ≈ Δ СНД  по двум углам - прямому и общему острому. 
Тогда
СР:СД=ЕР:НД 
2:10=ЕР:6
10 ЕР=12
ЕР=12:10=1,2 
Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2
КР=3,2*2=6,4