В треугольника ABC прямая AM (M принадлежит BC) пресекает BC в отношении CM:MB=3:2. Прямая CN (N принадлежит AB) пересекает AM в точке O и делит ее в отношении AO:OM=5:1. Найти площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника NBMO равна 6.

Пусть а - сторона ромба,

d - меньшая диагональ параллелограмма.

BD = d, ⇒ AC = 28d.

Стороны ромба параллельны диагоналям, значит угол между сторонами ромба равен углу между диагоналями (α).

Sромба = а²·sinα

Sabcd = 1/2·AC·BD·sinα = 1/2·28d·d·sinα = 14d²sinα

Sромба : Sabcd = a²/(14d²)

ΔCFK подобен ΔCBD по двум углам (угол при вершине С общий, ∠CFK = ∠CBD как соответственные при пересечении параллельных прямых FK и BD секущей СВ):

CF : CB = FK : BD = a : d (1)

ΔBEF подобен ΔBAC по двум углам (угол при вершине А общий, ∠BEF = ∠BAC как соответственные при пересечении параллельных прямых ЕF и АС секущей АВ):

BF : CB = EF : AC = a : (28d) (2)

Разделим равенство (1) на (2):

CF : BF = 28 : 1, тогда

CF : CB = 28 : 29, значит и

a : d = 28 : 29

Подставим это отношение в отношение площадей:

Sромба : Sabcd = a²/(14d²) = 28² / (14·29²) = 2² · 14² / (14 · 29²) = 4 · 14 / 29²

Sромба : Sabcd = 56/841

ABCD-параллелoграмм, EFGH -ромб. Для удобства введем обозначения: a - сторона ромба (они равны по определению ромба) d - диагональ AC 33d - диагональ BD (по условию) AE - k EB - t Площадь параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 33d*d*sinα/2 = 16,5d^2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу). Так как стороны ромба параллельны диагоналям, образуется маленький параллелограмм, а значит противоположные углы равны (по свойству параллелограмма). Рассмотрим треугольники ABC и EBF. ∠EBF - общий ∠BFE=∠BCA (это соответственные углы для параллельных прямых EF и AC с секущей FC) Следовательно, треугольники ABC и EBF подобны (по первому признаку подобия). Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k) Аналогично, подобны и треугольники ABD и AEH. Для них справедливо: a/33d=k/(t+k) Складываем эти два уравнения: a/d+a/33d=t/(t+k)+k/(t+k) 33a/33d+a/33d=(t+k)/(t+k) 34a/33d=1 34a=33d a=33d/34 Sромба=a^2sinα Sпараллелограмма=16,5d^2*sinα (это мы выяснили ранее) Sромба/Sпараллелограмма=(a^2sinα)/(16,5d^2*sinα)=a^2/(16,5d^2)=(33d/34)^2/(16,5d^2)=1089/(1156*16,5)=33/578 ответ: 33/578